Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea. y^{\prime \prime}-36 y=0
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação
y'' - 36y = 0.
Informações dadas: a equação envolve y, sua segunda derivada y'' e um coeficiente numérico -36. A incógnita é a função y(x) (dependendo de x) e queremos a família de todas as soluções (a solução geral), ou seja, a expressão que contém as constantes arbitrárias necessárias para representar todas as soluções possíveis.
Passo 2
Idéia do método que vou usar (explicando o porquê de forma simples): uma estratégia eficiente para equações assim é tentar soluções do tipo exponencial, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso “casa bem” com equações lineares com coeficientes constantes. Então vamos testar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (ainda desconhecido). Aqui r é um parâmetro que ajustamos para que essa função satisfaça a equação. Se essa tentativa funcionar, combinações lineares dessas soluções também funcionarão devido à linearidade da equação.
Passo 3
Calcular as derivadas de y(x)=e^{r x}. Lembre que a derivada de e^{r x} em relação a x é r e^{r x} e a segunda derivada é r^2 e^{r x}. Portanto:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Passo 4
Substituir y, y'' na equação \,y''-36y=0. Fazendo isso obtemos
r^2 e^{r x} - 36 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficar apenas com a equação para r, chamada equação característica:
r^2 - 36 = 0.
Passo 5
Resolver a equação característica \,r^2-36=0. Isso é uma equação quadrática simples; fatorando ou usando raiz quadrada:
r^2-36=(r-6)(r+6)=0,
logo as raízes são
r_1=6,\qquad r_2=-6.
Passo 6
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, as funções e^{r_1 x} e e^{r_2 x} são soluções independentes, e a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem é a combinação linear dessas duas soluções. Assim obtemos
y(x)=C_1 e^{6x} + C_2 e^{-6x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (os parâmetros que aparecem na solução geral porque é uma equação de segunda ordem).
Passo 7
Para reforçar por que C_1 e C_2 são constantes arbitrárias: a equação é de segunda ordem, então sua família geral de soluções deve ter duas constantes livres. Essas constantes aparecem porque qualquer combinação linear das duas soluções independentes também satisfaz a equação (linearidade). Podemos verificar rapidamente que as duas soluções são realmente independentes calculando o Wronskiano:
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e a combinação acima realmente representa a solução geral.
Passo 8
Alternativa (útil na prova): às vezes é conveniente escrever a solução em termos de funções hiperbólicas, usando \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Como
onde A e B são constantes arbitrárias relacionadas a C_1 e C_2 por A=C_1+C_2 (ajustadas por um fator 1/2 se quiser a forma padrão) — ambas as formas são equivalentes e às vezes uma é mais prática que a outra.