Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea do tipo Cauchy–Euler
e precisamos usar o método que propõe uma solução do tipo potências, transformando a EDO em uma equação algébrica para o expoente.
e precisamos usar o método que propõe uma solução do tipo potências, transformando a EDO em uma equação algébrica para o expoente.
Passo 2
Para aplicar o método, fazemos a substituição
e calculamos as derivadas necessárias:
e calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3
Substituindo essas expressões na EDO, temos
Fatorando
(que é não nulo para
), obtemos a equação característica
Passo 4
Expandindo a equação característica:
Agora fatoramos por agrupamento:
de onde as raízes são
.
Passo 5
Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO Cauchy–Euler é
substituindo ,
e
.
substituindo