Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
x^3 y^prime prime prime+6 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-3 y=0, x neq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea do tipo Cauchy–Euler

e precisamos usar o método que propõe uma solução do tipo potências, transformando a EDO em uma equação algébrica para o expoente.

Passo 2

Para aplicar o método, fazemos a substituição

e calculamos as derivadas necessárias:


Passo 3

Substituindo essas expressões na EDO, temos
x^3igl[r(r-1)(r-2)x^r-3r] + 6x^2igl[r(r-1)x^r-2r] + 3xigl[r x^r-1r] - 3x^r = 0 
Fatorando x^r (que é não nulo para xneq0), obtemos a equação característica
r(r-1)(r-2) + 6r(r-1) + 3r - 3 = 0

Passo 4

Expandindo a equação característica:
r^3 - 3r^2 + 2r + 6r^2 - 6r + 3r - 3 = r^3 + 3r^2 - r - 3 = 0
Agora fatoramos por agrupamento:
r^3 + 3r^2 - r - 3 = (r+3)(r^2 - 1) = (r+3)(r-1)(r+1) = 0,
de onde as raízes são r = -3, 1, -1.

Passo 5

Como as três raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO Cauchy–Euler é
r1 = -3
substituindo r2 = 1, r3 = -1 e .

Resposta

y(x) = C1 x^-3 + C2 x + C3 x^-1

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