Resolva os PVIs sabendo que são EDOs exatas.
ly^prime=y-x+1-x+y+3 y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI y'=y - x + 1-x + y + 3 com y(1)=0. O conteúdo é EDO exata, então vamos reescrever na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, testar exatidão, achar a função potencial phi(x,y) e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos y'=dydx=y - x + 1-x + y + 3. Multiplicando ambos os lados por -x + y + 3 e reorganizando, obtemos
(x - y - 1),dx + (-x + y + 3),dy = 0
Logo,
M(x,y)=x - y - 1, N(x,y)=-x + y + 3

Passo 3

Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=-1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral (x - y - 1),dx=x^22-yx - x + h(y)

Passo 5

Derivamos em relação a y e igualamos a N:
phiy=-x + h'(y)= -x + y + 3
Logo h'(y)=y+3 e, integrando,
h(y)=y^22+3y
Portanto
phi(x,y)=x^22-yx - x + y^22+3y

Passo 6

A solução geral implícita é phi(x,y)=C, ou seja,
x^22-xy - x + y^22+3y = C

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(1)=0:
1^22-1cdot0 -1 +0+0 = -12
Logo C=-12. A forma implícita final é
x^22-xy - x + y^22+3y = -12

Passo 8

Para explicitar y(x), reorganizamos como equação quadrática em y e obtemos
y = x - 3 pm 2raiz2 - x
Como y(1)=0, escolhemos o sinal “+” e temos
y(x)=x-3 + 2raiz2-x,
com domínio x<2 para manter o denominador não nulo.

Resposta

A solução implícita é tfracx^22-xy - x + tfracy^22+3y = -tfrac12, equivalente à solução particular
y(x)=x-3 + 2raiz2-x para x<2, que satisfaz y(1)=0.

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