Resolva os PVIs sabendo que são EDOs exatas.
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
com
. O conteúdo é EDO exata, então vamos reescrever na forma
, testar exatidão, achar a função potencial
e aplicar a condição inicial.
Passo 2
Reescrevemos
. Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, obtemos
Logo,
Passo 3
Testamos exatidão calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
:
Passo 5
Derivamos em relação a
e igualamos a
:
Logo
e, integrando,
Portanto
Passo 6
A solução geral implícita é
, ou seja,
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Logo
. A forma implícita final é
Passo 8
Para explicitar
, reorganizamos como equação quadrática em
e obtemos
Como
, escolhemos o sinal “+” e temos
com domínio
para manter o denominador não nulo.
Resposta
A solução implícita é
, equivalente à solução particular
para
, que satisfaz
.