Resolva os PVIs sabendo que são EDOs homogêneas.
ly^prime=x+yx-y y(1)=2

Passo 1

Beleza, então temos um problema de valor inicial (PVI) aqui: resolver a equação diferencial ordinária (EDO) homogênea $ y’ = \frac{x + y}{x - y} $ com a condição inicial $ y(1) = 2 $. Vamos precisar usar o método para EDOs homogêneas, que envolve uma substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO homogênea. Uma EDO é dita homogênea se puder ser expressa na forma $ y’ = F\left(\frac{y}{x}\right) $, ou seja, a função do lado direito depende apenas da razão $ \frac{y}{x} $. No nosso caso, podemos reescrever a equação como $ y’ = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} $, confirmando que é homogênea.

Passo 3

Vamos fazer a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v \cdot x $. Agora, precisamos encontrar a derivada $ y’ $ em termos de $ v $ e $ x $. Usando a regra do produto:
v = yx

Passo 4

Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
y
Vamos isolar $ \frac{dv}{dx} $:
y'
Simplificando o lado direito:
v + x cdot dvdx = 1 + v1 - v
Portanto:
dvdx

Passo 5

Separando as variáveis para integrar:
(1 - v) dv1 + v^2 = dxx
Vamos agora integrar ambos os lados.

Passo 6

A integral do lado esquerdo:
integral 1 - v1 + v^2 dv = integral 11 + v^2 dv - integral v1 + v^2 dv = arctan(v) - 12 ln|1 + v^2|
A integral do lado direito:
integral dxx = ln|x| + C
Portanto, temos:
arctan(v) - 12 ln|1 + v^2| = ln|x| + C

Passo 7

Agora, substituímos $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
v = yx
Para simplificar, podemos reescrever a constante $ C $:
arctan(yx) - 12 ln(1 + (yx)^2) = ln|x| + C

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(1) = 2
Calculando cada termo:
C
Portanto:
arctan(21) - 12 ln(1 + (21)^2) - ln|1| = C

Resposta

A solução geral do PVI é dada por:
arctan(yx) - 12 ln(1 + (yx)^2) - ln|x| = arctan(2) - 12 ln(5)
Essa é a expressão que relaciona $ y $ e $ x $ que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial fornecida.

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