Resolva os PVIs sabendo que são EDOs homogêneas.
Passo 1
Beleza, então temos um problema de valor inicial (PVI) aqui: resolver a equação diferencial ordinária (EDO) homogênea $ y’ = \frac{x + y}{x - y} $ com a condição inicial $ y(1) = 2 $. Vamos precisar usar o método para EDOs homogêneas, que envolve uma substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO homogênea. Uma EDO é dita homogênea se puder ser expressa na forma $ y’ = F\left(\frac{y}{x}\right) $, ou seja, a função do lado direito depende apenas da razão $ \frac{y}{x} $. No nosso caso, podemos reescrever a equação como $ y’ = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}} $, confirmando que é homogênea.
Passo 3
Vamos fazer a substituição $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v \cdot x $. Agora, precisamos encontrar a derivada $ y’ $ em termos de $ v $ e $ x $. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Vamos isolar $ \frac{dv}{dx} $:
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Passo 5
Separando as variáveis para integrar:
Vamos agora integrar ambos os lados.
Passo 6
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito:
Portanto, temos:
Passo 7
Agora, substituímos $ v = \frac{y}{x} $ de volta na equação:
Para simplificar, podemos reescrever a constante $ C $:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $:
Calculando cada termo:
Portanto:
Resposta
A solução geral do PVI é dada por:
Essa é a expressão que relaciona $ y $ e $ x $ que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial fornecida.