Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+y=0, x neq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea do tipo Cauchy–Euler
x^2y''-3x y'+y=0,
logo o conteúdo é equação de Euler–Cauchy e vamos usar o método que assume uma solução na forma potencia de x.

Passo 2

Vamos assumir a solução do tipo y=x^m. Para isso, precisamos das derivadas:
y'=m x^m-1,
y''=m(m-1)x^m-2

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação original, obtemos:
x^2igl[m(m-1)x^m-2r]-3xl[m x^m-1r]+x^m=0 
Simplificando os fatores de x^m fica:
m(m-1)-3m+1=0

Passo 4

A equação característica é
m^2-4m+1=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
m=4pmraiz16-42=4pm2raiz32=2pmraiz3

Passo 5

Como as raízes m1=2+raiz3 e m2=2-raiz3 são reais e distintas, a solução geral da EDO é combinação linear de x^m1 e x^m2.

Resposta

y(x)=C1x^2+raiz3+C2x^2-raiz3

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