Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
x^4 y^i v+6 x^3 y^prime prime prime+8 x^2 y^prime prime+2 x y^prime=0, x neq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de Euler–Cauchy
x^4y^(iv)+6x^3y'''+8x^2y''+2xy'=0, xneq0
Estamos em matéria de EDOs com coeficientes variáveis do tipo Cauchy–Euler, e vamos usar a tentativa de solução da forma y=x^m.

Passo 2

Para aplicar y=x^m, calculamos as derivadas:
y'=m x^m-1,
y''=m(m-1)x^m-2,
y'''=m(m-1)(m-2)x^m-3,
y^(iv)=m(m-1)(m-2)(m-3)x^m-4

Passo 3

Substituindo na EDO, fatoramos x^m:
x^ml[m(m-1)(m-2)(m-3)+6m(m-1)(m-2)+8m(m-1)+2mr]=0
Como x^mneq0, a equação característica é
m(m-1)(m-2)(m-3)+6m(m-1)(m-2)+8m(m-1)+2m=0

Passo 4

Expandindo e somando termos obtemos
m^4+m^2=0,Longrightarrow,m^2(m^2+1)=0
Logo as raízes são m=0 (dupla) e m=pm i (simples).

Passo 5

Pela teoria de EDO de Euler–Cauchy, para raiz real dupla m=0 temos soluções x^0=1 e x^0ln x=ln x. Para as raízes complexas m=pm i (com parte real zero e parte imaginária 1) geramos as soluções
cos(ln x) e sin(ln x).
Combinando, a solução geral é

Passo 6

final_answer

Passo 7

y(x)=C_{1}+C_{2}\ln x +C_{3}\cos(\ln x)+C_{4}\sin(\ln x)

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