Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de Euler–Cauchy
Estamos em matéria de EDOs com coeficientes variáveis do tipo Cauchy–Euler, e vamos usar a tentativa de solução da forma
Passo 2
Para aplicar
, calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituindo na EDO, fatoramos
:
Como
, a equação característica é
Passo 4
Expandindo e somando termos obtemos
Logo as raízes são
(dupla) e
(simples).
Passo 5
Pela teoria de EDO de Euler–Cauchy, para raiz real dupla
temos soluções
e
. Para as raízes complexas
(com parte real zero e parte imaginária
) geramos as soluções
e
.
Combinando, a solução geral é
Combinando, a solução geral é
Passo 6
final_answer
Passo 7
y(x)=C_{1}+C_{2}\ln x +C_{3}\cos(\ln x)+C_{4}\sin(\ln x)