Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
x^2 y^prime prime+4 x y^prime-10 y=0, x neq 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de Cauchy–Euler
x² y’’ + 4x y’ – 10y = 0 (com x ≠ 0). O conteúdo aqui é a equação de Euler, que a gente resolve assumindo uma solução do tipo potência y = x^m e montando a equação característica.

Passo 2

Para aplicar o método, fazemos a substituição y = x^m. Assim, precisamos de y’ e y’’:
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2

Passo 3

Agora substituímos y, y’ e y’’ na EDO:
x^2igl(m(m-1)x^m-2r) + 4xl(m x^m-1r) - 10 x^m = 0 
Fatorando x^m, obtemos a equação característica:
igl[m(m-1) + 4m - 10r] x^m = 0 
o que dá
m^2 + 3m - 10 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática m^2 + 3m - 10 = 0:
m = -3 pm raiz3^2 - 4cdot1cdot(-10)2 = -3 pm raiz9 + 402 = -3 pm 72
Logo as raízes são m_1 = 2 e m_2 = -5.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO de Euler é
y(x) = C1 x^m1 + C2 x^m2 = C1 x^2 + C2 x^-5,
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^{-5}

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