Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de Cauchy–Euler
x² y’’ + 4x y’ – 10y = 0 (com x ≠ 0). O conteúdo aqui é a equação de Euler, que a gente resolve assumindo uma solução do tipo potência y = x^m e montando a equação característica.
x² y’’ + 4x y’ – 10y = 0 (com x ≠ 0). O conteúdo aqui é a equação de Euler, que a gente resolve assumindo uma solução do tipo potência y = x^m e montando a equação característica.
Passo 2
Para aplicar o método, fazemos a substituição y = x^m. Assim, precisamos de y’ e y’’:
Passo 3
Agora substituímos y, y’ e y’’ na EDO:
Fatorando x^m, obtemos a equação característica:
o que dá
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática m^2 + 3m - 10 = 0:
Logo as raízes são m_1 = 2 e m_2 = -5.
Passo 5
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO de Euler é
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.
Resposta
y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^{-5}