Resolva os PVIs sabendo que são EDOs não-exatas.
ly^prime=e^2 x+y-1 y(0)=-3

Passo 1

Aqui a gente tem o PVI dado por
y' = e^2x + y - 1, y(0) = -3
O conteúdo é equação diferencial ordinária de 1ª ordem linear não-exata. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão, isto é, isolando y' e agrupando y:
y' - y = e^2x - 1
Para uma equação y' + p(x)y = q(x), o fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx
Aqui p(x) = -1, então
mu(x) = e^integral (-1),dx = e^-x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x:
e^-xy' - e^-xy = e^-x(e^2x - 1) = e^x - e^-x
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^-xy, pois
ddxl(e^-xyr) = e^-xy' - e^-xy

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^-xy),dx = integral (e^x - e^-x),dx
Isso nos dá
e^-xy = e^x + e^-x + C
e daí isolamos y:
y = e^xl(e^x + e^-x + Cr) = e^2x + 1 + C e^x

Passo 5

Por fim, aplicamos a condição inicial y(0) = -3:
y(0) = 1 + 1 + C = -3 implies C = -5
Substituindo de volta, obtemos a solução particular:

Resposta

y(x) = e^2x + 1 - 5e^x

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