Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear homogênea de tipo Cauchy–Euler:
Para resolver, vamos usar a substituição típica desse tipo de equação, que é assumir
Passo 2
Substituindo
temos:
Logo, a equação se torna:
Passo 3
Fatorando
(observando que
) obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo
achamos raízes complexas:
Passo 5
Para raízes complexas do tipo
com
e
, a solução geral é
$$y = x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x) + C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
Passo 6
Como a equação só exige
, podemos escrever em termos de
:
$$y = C_{1}\cos\bigl(2\ln|x|\bigr) + C_{2}\sin\bigl(2\ln|x|\bigr).
$$