Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
x^2 y^prime prime+x y^prime+4 y=0, x neq 0

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear homogênea de tipo Cauchy–Euler:
x^2y'' + x y' + 4y = 0, xneq 0
Para resolver, vamos usar a substituição típica desse tipo de equação, que é assumir y = x^m.

Passo 2

Substituindo y = x^m temos:
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2
Logo, a equação se torna:
x^2l(m(m-1)x^m-2r) + xl(m x^m-1r) + 4x^m = 0

Passo 3

Fatorando x^m (observando que xneq0) obtemos a equação característica:
m(m-1) + m + 4 = 0 Longrightarrow m^2 + 4 = 0

Passo 4

Resolvendo m^2 + 4 = 0 achamos raízes complexas:
m = pm 2,i

Passo 5

Para raízes complexas do tipo alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=2, a solução geral é
$$y = x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x) + C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
y = x^alphal(C1cos(betaln x) + C2sin(betaln x)r) áy = C_{1}\cos\bigl(2\ln x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(2\ln x\bigr),\quad x>0.$$

Passo 6

Como a equação só exige xneq0, podemos escrever em termos de ln|x|:
$$y = C_{1}\cos\bigl(2\ln|x|\bigr) + C_{2}\sin\bigl(2\ln|x|\bigr).
$$

Resposta

y = C1cosl(2ln|x|r) + C2sinl(2ln|x|r), ; xneq0

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