Nos itens a seguir, calcule (f^-1)^prime(d).
(b) f(x)=sen x ;-pi2 <= x <= pi2 ; d=12.

Passo 1

Aqui a gente tem f(x)=sin x definida no intervalo [-pi2,pi2], e queremos calcular (f^-1)'(d) para d=tfrac12. O conteúdo envolve derivada de função inversa e arco seno.

Passo 2

A regra de derivada de inversa diz que se f é invertível então
(f^-1)'(y)=1f'(f^-1(y)).
Vamos usar essa fórmula.

Passo 3

Precisamos de f^-1(d). Como f é o seno restrito, f^-1(d)=arcsin(d). Para d=tfrac12 temos
arcsin(tfrac12)=tfracpi6.
Também calculamos f'(x)=cos x, então f'(tfracpi6)=cos(tfracpi6)=tfracraiz32.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
(f^-1)'(tfrac12)=1f'(tfracpi6)=1tfracraiz32=2raiz3.

Resposta

tfrac2raiz3

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