Nos itens a seguir, calcule (f^-1)^prime(d).
(d) f(x)=sen(ln x) ; e^-pi / 2.

Passo 1

A questão pede para calcular (f^-1)'(d) para f(x)=sin(ln x) no intervalo e^-pi/2, com d=raiz22. Vamos usar a fórmula da derivada de função inversa, que é (f^-1)'(d)=1f'(x0), onde x0 satisfaz f(x0)=d.

Passo 2

Precisamos achar x0 tal que sin(ln x0)=raiz22. Como ln x0 varia em ( -tfracpi2,tfracpi2 ), o único ângulo que satisfaz é ln x0=tfracpi4. Logo, x0=e^pi/4.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f. Como f(x)=sin(ln x), aplicamos regra da cadeia: a derivada de sin(u) é cos(u) e a derivada de u=ln x é 1x. Então
f'(x)=cos(ln x)x

Passo 4

Substituindo x0=e^pi/4 em f'(x), obtemos
f'(x0)=cos(ln(e^pi/4))e^pi/4=cos(pi/4)e^pi/4=raiz22e^pi/4

Passo 5

Finalmente, usando (f^-1)'(d)=1f'(x0), temos
(f^-1)'(d)=1raiz2/2e^pi/4=e^pi/4raiz22=raiz2,e^pi/4

Resposta

raiz2,e^pi/4

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