Responda as perguntas sobre o PVI:
l x y^prime+y=0 y(x0)=y0
Para que valores de x0 e y0 o problema:
Não terá solução ?

Passo 1

O enunciado dá o PVI
x,y'+y=0 y(x0)=y0
que é um EDO linear de 1.º ordem e pede para achar para quais x0 e y0 não existe solução.

Passo 2

Observamos que o termo x multiplica y', então a equação não está definida em x=0. Logo, a análise natural é em dois casos: x0neq0 e x0=0.

Passo 3

Para xneq0 dividimos por x e obtemos a forma padrão
y' + 1x,y=0
Usamos fator integrante mu(x)=e^integral(1/x)dx=x. Então
ddx(x,y)=0
integrando, vem
x,y=CLongrightarrow y=Cx.
Aplicando a condição inicial para x0neq0, temos
y0=y(x0)=Cx0implies C=y0,x0
e logo
y(x)=y0,x0x.
Portanto, para qualquer x0neq0 e qualquer y0 existe e é única essa solução.

Passo 4

Se x0=0, o EDO é singular naquele ponto, então não podemos usar a forma dividida por x. Há a solução trivial yequiv0 que atende y(0)=0. Mas se y0neq0, não há como achar y(x) que seja finita em x=0 e satisfaça a equação. Assim, não existe solução quando x0=0 e y0neq0.

Resposta

Para x0=0 e y0neq0 não existe solução.

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