Nos exercícios de 9 a 12, identifique os dois eventos descritos no estudo. Os resultados indicam que os eventos são independentes ou dependentes? Explique.
Pesquisadores descobriram que pessoas que sofrem com depressão tem cinco vezes mais chances de ter um distúrbio relacionado à respiração durante o sono do que pessoas que não sofrem de depressão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado nos diz: pessoas que sofrem de depressão têm cinco vezes mais chance de ter um distúrbio respiratório do sono do que pessoas que não sofrem de depressão.
  • O que é pedido:
    1. Identificar os dois eventos descritos no estudo.
    2. Dizer se, com base nessa informação, os eventos são independentes ou dependentes e explicar por quê.

Passo 2

Definições e notação — isso ajuda a entender e a trabalhar com a afirmação.
  • Seja A o evento “a pessoa sofre de depressão”.
  • Seja B o evento “a pessoa tem um distúrbio respiratório do sono”.
  • A expressão “chance de B dado que A ocorre” é a probabilidade condicional \,P(B\mid A)\,. Ela se lê “probabilidade de B sabendo que A ocorreu” e é definida por
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},
desde que P(A)>0.

Passo 3

Traduzir a frase do enunciado para uma relação matemática.
  • A afirmação “pessoas com depressão têm cinco vezes mais chance de ter o distúrbio do sono do que pessoas sem depressão” significa
P(B\mid A)=5\;P(B\mid A^{c}),
onde A^{c} é o evento “a pessoa não tem depressão” e \,P(B\mid A^{c}) é a probabilidade de B entre os não deprimidos.

Passo 4

Recordar o critério de independência e usar a relação dada para testar independência.
  • Dois eventos A e B são independentes se e somente se uma (equivalente) das condições vale:
P(B\mid A)=P(B) \qquad\text{ou}\qquad P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
  • Calculemos P(B) em termos das condicionais (fórmula da probabilidade total):
P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c}).
  • Substituindo P(B\mid A)=5P(B\mid A^{c}) obtemos
P(B)=5P(B\mid A^{c})P(A)+P(B\mid A^{c})(1-P(A))=P(B\mid A^{c})\bigl(1+4P(A)\bigr).
  • Agora relacionamos P(B\mid A) com P(B):
P(B\mid A)=5P(B\mid A^{c})=\frac{5}{1+4P(A)}\,P(B).
  • Para que A e B fossem independentes precisaríamos ter P(B\mid A)=P(B). Pela última igualdade isso exigiria
\frac{5}{1+4P(A)}=1 \quad\Longrightarrow\quad 5=1+4P(A)\quad\Longrightarrow\quad P(A)=1.
  • A conclusão: a igualdade só ocorre no caso degenerado em que P(A)=1 (ou em situações triviais onde todas as probabilidades envolvidas são zero) — isto é, apenas se todo mundo no universo tiver depressão. Isso não é o caso realisticamente nem o que a frase pretende dizer.

Passo 5

Interpretação prática e exemplo numérico para fixar a ideia.
  • Intuição simples: a afirmação diz que a probabilidade de B muda quando sabemos que A ocorreu (fica 5 vezes maior do que entre os que não têm A). Se a probabilidade de B muda quando condicionamos em A, então B depende de A.
  • Exemplo numérico rápido: suponha P(A)=0,2 e P(B\mid A^{c})=0,10. Então P(B\mid A)=5\cdot0,10=0,50. A probabilidade total é
P(B)=0,50\cdot0,2+0,10\cdot0,8=0,10+0,08=0,18.
Aqui P(B\mid A)=0,50 difere de P(B)=0,18, mostrando dependência na prática.

Resposta

Eventos: A = “pessoa sofre de depressão” e B = “pessoa tem distúrbio respiratório do sono”.\nOs eventos são dependentes.

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