Em uma amostra de 1.000 pessoas, 120 são canhotas. Duas pessoas não relacionadas são selecionadas aleatoriamente sem reposição.
Encontre a probabilidade de que ambas sejam canhotas.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Tamanho da amostra: 1000 pessoas.
  • Número de canhotos: 120.
  • Duas pessoas são selecionadas aleatoriamente sem reposição (ou seja, a segunda escolha é feita com uma população que já foi afetada pela primeira escolha).
O que o problema pede:
  • Encontrar a probabilidade de que ambas as pessoas selecionadas sejam canhotas.

Passo 2

Ideia-chave (regra de multiplicação com probabilidade condicional): quando fazemos duas retiradas em sequência sem reposição, a probabilidade de ocorrerem dois eventos A e B em sequência é
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu. Aqui A = “primeira pessoa é canhota” e B = “segunda pessoa é canhota”.

Passo 3

Calcular P(A), a probabilidade da primeira pessoa ser canhota. Há 120 canhotos entre 1000 pessoas, logo
P(A)=\frac{120}{1000}.
Explicação didática: probabilidade é razão entre casos favoráveis e casos possíveis; aqui cada pessoa tem a mesma chance, então a razão é 120 favoráveis em 1000 possíveis.

Passo 4

Calcular P(B\mid A), a probabilidade da segunda pessoa ser canhota sabendo que a primeira já foi canhota. Como a seleção foi sem reposição, após escolher uma canhota restam 119 canhotos e o total de pessoas restantes é 999. Assim
P(B\mid A)=\frac{119}{999}.
Explicação didática: sem reposição significa que o espaço amostral muda — tira-se uma canhota do total.

Passo 5

Multiplicar as duas probabilidades para obter a probabilidade conjunta:
P(\text{ambas canhotas}) = \frac{120}{1000}\cdot\frac{119}{999}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{120\cdot119}{1000\cdot999}=\frac{14280}{999000}.
Agora simplifica-se a fração. O máximo divisor comum entre 14280 e 999000 é 120, então
\frac{14280}{999000}=\frac{119}{8325}.
Valor aproximado em decimal (para ter noção numérica):
\frac{119}{8325}\approx0,014294\quad(\text{aprox. }1,429\%).

Passo 6

(Método alternativo — combinação) Outra forma de ver: escolher 2 canhotos entre 120 e 2 pessoas entre 1000 dá a probabilidade
\frac{\binom{120}{2}}{\binom{1000}{2}}.
Como \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}, essa razão vira
\frac{\dfrac{120\cdot119}{2}}{\dfrac{1000\cdot999}{2}}=\frac{120\cdot119}{1000\cdot999},
que é exatamente a mesma expressão anterior. Conclusão: as duas abordagens concordam.

Resposta

\dfrac{119}{8325}\approx0,014294

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