Nos exercícios de 27 a 30, considere uma empresa que seleciona funcionários aleatoriamente para um teste de uso de drogas. A empresa usa um computador para selecionar aleatoriamente os números dos funcionários, que vão de 1 a 6.296 .
30) Encontre a probabilidade de selecionar um número que não é divisível por 1.000 .

Passo 1

O enunciado diz que a empresa seleciona aleatoriamente um número inteiro entre 1 e 6{,}296 (inclusive) e pede a probabilidade de escolher um número que não é divisível por 1{,}000.
Informações relevantes dadas:
  • Espaço amostral (total de resultados possíveis): 1,2,\dots,6{,}296, ou seja, N_{\text{total}} = 6{,}296.
  • Evento de interesse: número escolhido não é múltiplo de 1{,}000.
O que se pede:
  • Calcular P(\text{número não divisível por }1{,}000)úãí.

Passo 2

Estratégia básica (caso de equiprobabilidade): quando todos os N_{\text{total}} resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{N_{\text{total}}}.úá
Aqui é mais fácil contar quantos números em 1,2,\dots,6{,}296 são divisíveis por 1{,}000; depois posso obter a probabilidade de “não divisível” por complementar:
P(\text{não divisível}) = 1 - P(\text{divisível}).ãíí

Passo 3

Contar os múltiplos de 1{,}000 entre 1 e 6{,}296.
Um número é múltiplo de 1{,}000 se pode ser escrito como k\cdot 1{,}000 com k inteiro positivo. Os valores possíveis de k são
k=1,2,\dots,\left\lfloor\frac{6{,}296}{1{,}000}\right\rfloor,
onde \lfloor x\rfloor denota a parte inteira (piso) de x, isto é, o maior inteiro \le x.
Calculando:
\left\lfloor\frac{6{,}296}{1{,}000}\right\rfloor=\left\lfloor 6{,}296\div 1{,}000\right\rfloor=\left\lfloor 6{,}296\times 10^{-3}\right\rfloor=\left\lfloor 6{,}296/1000\right\rfloor=6.
Logo, existem 6 múltiplos de 1{,}000 no intervalo: 1{,}000,\;2{,}000,\;3{,}000,\;4{,}000,\;5{,}000,\;6{,}000.
Portanto o número de resultados favoráveis ao evento "divisível por 1{,}000" é N_{\text{div}}=6.

Passo 4

Calcular P(\text{divisível por }1{,}000)í:
P(\text{divisível})=\frac{N_{\text{div}}}{N_{\text{total}}}=\frac{6}{6{,}296}.í
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{6}{6{,}296}=\frac{3}{3{,}148}.

Passo 5

Usar o complementar para obter a probabilidade pedida:
P(\text{não divisível})=1-P(\text{divisível})=1-\frac{3}{3{,}148}.ãíí
Colocando numa única fração:
1-\frac{3}{3{,}148}=\frac{3{,}148-3}{3{,}148}=\frac{3{,}145}{3{,}148}.
(Equivalente também a \dfrac{6{,}290}{6{,}296}, antes da simplificação.)

Passo 6

Interpretação numérica rápida: em decimal a probabilidade é aproximadamente
\frac{3{,}145}{3{,}148}\approx 0{,}999046\ldots
Ou seja, quase certa — faz sentido: só 6 entre 6{,}296 números são múltiplos de 1{,}000.
Dica para a prova: para contar quantos números entre 1 e N são múltiplos de d use \left\lfloor N/d\right\rfloor; aí a probabilidade é \dfrac{\lfloor N/d\rfloor}{N} e o complementar é 1-\dfrac{\lfloor N/d\rfloor}{N}.

Resposta

\dfrac{3{,}145}{3{,}148}\\ \approx\\\ 0{,}999046

Exercícios relacionados