Dias de sol e chuva. Você está planejando uma viagem de quatro dias para Seattle, em outubro.
a) Faça um diagrama de árvore dos dias de sol e chuva para sua viagem.
b) Liste o espaço amostral.
c) Liste o(s) resultado(s) para o evento “irá chover exatamente em um dia.”

Passo 1

O enunciado pede três coisas para uma viagem de quatro dias (dias numerados de 1 a 4), em que cada dia pode ser ou de sol ou de chuva:
  • (a) construir um diagrama de árvore que represente todas as possibilidades de sol/chuva ao longo dos quatro dias;
  • (b) listar o espaço amostral (todos os resultados possíveis de quatro dias);
  • (c) listar os resultados em que “irá chover exatamente em um dia”.
Informações relevantes dadas (já que são implícitas no enunciado):
  • Cada dia tem duas possibilidades: \text{Sol} ou \text{Chuva}.
  • A viagem tem 4 dias, e estamos interessados em sequências de comprimento 4 formadas por essas duas possibilidades.
  • Não foi dada nenhuma dependência entre dias, portanto, para fins de contagem/listagem, tratamos cada dia como uma escolha independente entre as duas opções.

Passo 2

O que é um diagrama de árvore aqui e como construí-lo (passo a passo, bem didático).
  • Um diagrama de árvore mostra todas as escolhas sequenciais dia a dia. Em cada nível da árvore corresponde a um dia da viagem.
  • No nível do dia 1\) há duas ramificações: \(\text{Sol}\) ou \(\text{Chuva}\). - A cada ramificação do dia \(1\) ligam-se duas ramificações do dia \(2\) (novamente \(\text{Sol}\) ou \(\text{Chuva}\)). - Repete-se isso até o dia \(4\). Assim, a árvore tem 4 níveis de ramificação binária. - Visualmente (em texto) a parte superior da árvore começa assim: \[\text{(raiz)} \to \begin{cases} \text{Dia 1: }\text{Sol} \to \begin{cases} \text{Dia 2: }\text{Sol} \to \cdots\\[4pt] \text{Dia 2: }\text{Chuva} \to \cdots \end{cases}\\[6pt] \text{Dia 1: }\text{Chuva} \to \begin{cases} \text{Dia 2: }\text{Sol} \to \cdots\\[4pt] \text{Dia 2: }\text{Chuva} \to \cdots \end{cases} \end{cases}
  • Cada “…” continua até o dia 4\]. As folhas da árvore (os ramos finais) correspondem exatamente às sequências de 4 dias, por exemplo \((\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}).]

Passo 3

Quantas folhas (resultados) existem e por quê.
  • Em cada dia há 2 opções. Para uma sequência de 4 dias o número total de resultados é 2^4=16.Explicação: para cada escolha do dia 1 há 2 escolhas do dia 2; para cada uma dessas há 2 escolhas do dia 3; e para cada uma dessas há 2 escolhas do dia 4. Multiplicando: 2\cdot2\cdot2\cdot2=16.
  • Esse número 2^4 é o número de folhas do diagrama de árvore completo.

Passo 4

Listagem explícita do espaço amostral (cada elemento é uma sequência de 4 entradas: dia 1, dia 2, dia 3, dia 4). Vou escrever todos os 16 resultados:
\Omega=\{\, (\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva}),\;
(\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva}),\;
(\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva}),\;
(\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva}) \,\}.
  • Cada elemento acima é exatamente uma folha da árvore construída no Passo 2.

Passo 5

Evento “irá chover exatamente em um dia”: como identificar e listar os resultados.
  • “Exatamente em um dia” significa que a sequência tem exatamente uma ocorrência de \text{Chuva} e três ocorrências de \text{Sol}.
  • Uma forma rápida de contar quantos resultados têm exatamente uma chuva é escolher em qual dos 4 dias ocorre a chuva; há \binom{4}{1}=4 escolhas possíveis. Aqui \binom{4}{1} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras escolher 1 dia entre 4.
  • Listando os resultados com exatamente uma chuva (colocando a chuva no dia correspondente):
E=\{\,(\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol}),\;(\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol}),\;(\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}),\;(\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva})\,\}.
  • Portanto |E|=4.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumindo a técnica):
  • Para desenhar a árvore, faça 4 níveis e em cada nível desenhe duas ramificações ( \text{Sol} e \text{Chuva}). Conte as folhas como 2^4=16.
  • Para eventos que dependem do número de ocorrências (ex.: “exatamente k chuvas”), use combinatória: o número de sequências com exatamente k chuvas é \binom{4}{k}; para listar, fixe as posições das chuvas e preencha os demais dias com sol.
  • Você consegue listar manualmente os elementos do evento sem desenhar a árvore completa, apenas escolhendo as posições das chuvas (muito mais rápido na prova).

Resposta

(a) Diagrama de árvore: ramificação binária em 4 níveis, em cada nível as opções \text{Sol} e \text{Chuva} (resultando em 2^4=16 folhas).
(b) Espaço amostral:
\Omega=\{\, (\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva}),\;
(\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva}),\;
(\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Chuva}),\;
(\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Chuva}),\; (\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Sol}),\; (\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva},\text{Chuva}) \,\}.
(c) Evento “chover exatamente em um dia”:
E=\{\,(\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol}),\;(\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol},\text{Sol}),\;(\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva},\text{Sol}),\;(\text{Sol},\text{Sol},\text{Sol},\text{Chuva})\,\}.

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