Dias de sol e chuva. Você está planejando uma viagem de quatro dias para Seattle, em outubro.
a) Faça um diagrama de árvore dos dias de sol e chuva para sua viagem.
b) Liste o espaço amostral.
c) Liste o(s) resultado(s) para o evento “irá chover exatamente em um dia.”
a) Faça um diagrama de árvore dos dias de sol e chuva para sua viagem.
b) Liste o espaço amostral.
c) Liste o(s) resultado(s) para o evento “irá chover exatamente em um dia.”
Passo 1
O enunciado pede três coisas para uma viagem de quatro dias (dias numerados de 1 a 4), em que cada dia pode ser ou de sol ou de chuva:
- (a) construir um diagrama de árvore que represente todas as possibilidades de sol/chuva ao longo dos quatro dias;
- (b) listar o espaço amostral (todos os resultados possíveis de quatro dias);
- (c) listar os resultados em que “irá chover exatamente em um dia”.
Informações relevantes dadas (já que são implícitas no enunciado):
- Cada dia tem duas possibilidades:
ou . - A viagem tem 4 dias, e estamos interessados em sequências de comprimento 4 formadas por essas duas possibilidades.
- Não foi dada nenhuma dependência entre dias, portanto, para fins de contagem/listagem, tratamos cada dia como uma escolha independente entre as duas opções.
Passo 2
O que é um diagrama de árvore aqui e como construí-lo (passo a passo, bem didático).
- Um diagrama de árvore mostra todas as escolhas sequenciais dia a dia. Em cada nível da árvore corresponde a um dia da viagem.
- No nível do dia
- Cada “…” continua até o dia .]
Passo 3
Quantas folhas (resultados) existem e por quê.
- Em cada dia há 2 opções. Para uma sequência de 4 dias o número total de resultados é
Explicação: para cada escolha do dia há 2 escolhas do dia ; para cada uma dessas há 2 escolhas do dia ; e para cada uma dessas há 2 escolhas do dia . Multiplicando: . - Esse número
é o número de folhas do diagrama de árvore completo.
Passo 4
Listagem explícita do espaço amostral (cada elemento é uma sequência de 4 entradas: dia 1, dia 2, dia 3, dia 4). Vou escrever todos os
resultados:
- Cada elemento acima é exatamente uma folha da árvore construída no Passo 2.
Passo 5
Evento “irá chover exatamente em um dia”: como identificar e listar os resultados.
- “Exatamente em um dia” significa que a sequência tem exatamente uma ocorrência de
e três ocorrências de . - Uma forma rápida de contar quantos resultados têm exatamente uma chuva é escolher em qual dos 4 dias ocorre a chuva; há
escolhas possíveis. Aqui é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras escolher 1 dia entre 4. - Listando os resultados com exatamente uma chuva (colocando a chuva no dia correspondente):
- Portanto
.
Passo 6
Dica rápida para a prova (resumindo a técnica):
- Para desenhar a árvore, faça 4 níveis e em cada nível desenhe duas ramificações (
e ). Conte as folhas como . - Para eventos que dependem do número de ocorrências (ex.: “exatamente
chuvas”), use combinatória: o número de sequências com exatamente chuvas é ; para listar, fixe as posições das chuvas e preencha os demais dias com sol. - Você consegue listar manualmente os elementos do evento sem desenhar a árvore completa, apenas escolhendo as posições das chuvas (muito mais rápido na prova).
Resposta
(a) Diagrama de árvore: ramificação binária em 4 níveis, em cada nível as opções
e
(resultando em
folhas).
(b) Espaço amostral:
(b) Espaço amostral:
(c) Evento “chover exatamente em um dia”: