Nos exercícios de 3 a 12, seja p a proporção populacional para a condição dada. Encontre as estimativas de ponto para p e q.
Parar de fumar. Em uma pesquisa feita entre 284 fumantes, 204 deles declararam que querem parar de fumar.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados somos dados.
  • Pedido: encontrar as estimativas de ponto para a proporção populacional p (a proporção de fumantes que querem parar de fumar) e para q (a proporção que não quer parar).
  • Dados fornecidos:
    • tamanho da amostra n=284 (foram entrevistados 284 fumantes);
    • número de sucessos x=204 (dentre eles, 204 declararam que querem parar de fumar).

Passo 2

O que é uma estimativa pontual para proporção e qual fórmula usar.
  • Para estimar uma proporção populacional p a partir de uma amostra usa-se a proporção amostral \widehat{p}.
  • Fórmula:
\widehat{p}=\dfrac{x}{n},
onde:
  • x é o número de observações com a característica de interesse (aqui, querem parar);
  • n é o tamanho da amostra.
  • A estimativa para q (a proporção complementar, ou seja, que não quer parar) é dada por
\widehat{q}=1-\widehat{p}.
  • Intuição simples: \widehat{p} é a fração da amostra com a propriedade; faz sentido usá-la como palpite para a população inteira.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \widehat{p} com os números dados.
  • Substituindo x=204 e n=284 na fórmula:
\widehat{p}=\dfrac{204}{284}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\widehat{p}=\dfrac{51}{71}.

Passo 4

Calcular a aproximação decimal de \widehat{p} e como fazermos o arredondamento.
  • A fração \dfrac{51}{71} em decimal é aproximadamente 0,718309859\ldots.
  • Para a prova normalmente basta arredondar a 4 casas decimais (ou apresentar em porcentagem com duas casas). Arredondando a 4 casas decimais:
\widehat{p}\approx0,7183.
  • Em porcentagem isso equivale a aproximadamente 71,83\%.

Passo 5

Encontrar \widehat{q} a partir de \widehat{p}; também em fração e decimal.
  • Usando \widehat{q}=1-\widehat{p} e a fração \widehat{p}=\dfrac{51}{71}:
\widehat{q}=1-\dfrac{51}{71}=\dfrac{71}{71}-\dfrac{51}{71}=\dfrac{20}{71}.
  • Convertendo para decimal:
\widehat{q}\approx0,28169014\ldots
  • Arredondando a 4 casas decimais:
\widehat{q}\approx0,2817.
  • Em porcentagem isso equivale a aproximadamente 28,17\%.

Passo 6

Interpretação e dica de resposta em prova (como apresentar concisamente).
  • Interpretação: a melhor estimativa pontual, com base nessa amostra, é que cerca de 71{,}83\% dos fumantes querem parar ( \widehat{p}\approx0,7183) e cerca de 28{,}17\% não querem ( \widehat{q}\approx0,2817).
  • Dica prática: na prova apresente tanto a fração exata ( \dfrac{51}{71}, \dfrac{20}{71}) quanto a aproximação decimal ou porcentagem; isso mostra rigor e também um valor pronto para interpretação.

Resposta

\widehat{p}=\dfrac{204}{284}=\dfrac{51}{71}\approx0,7183
\widehat{q}=1-\widehat{p}=\dfrac{20}{71}\approx0,2817

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