Nos exercícios 3 a 12, verifique se
é subespaço vetorial de
.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
é subespaço vetorial de
. Para isso, usamos o critério padrão: (i)
, (ii) fechadura sob soma e (iii) fechadura sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o elemento nulo de
, que é
está em
W . Aqui
a=b=0 implica
c=a+b=0 e
d=0 , logo o zero satisfaz as condições de
W . Portanto
0in W .
Passo 3
Fechadura sob soma: sejam
em
W . Então
c1 = a1+b1 ,
d1=0 ,
c2=a2+b2 ,
d2=0 . A soma é
onde
A=a1+a2 ,
B=b1+b2 e
além de
d1+d2=0 . Logo
X+Y também satisfaz
c=A+B e
d=0 , isto é,
X+Yin W .]
Passo 4
Fechadura sob escalar: seja
lambda escalar e
com
c=a+b e
d=0 . Então
onde
A'=lambda a ,
B'=lambda b . Note que
e
lambda d = 0 , logo
lambda Xin W .]
Passo 5
Como
0in W ,
W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
W é subespaço vetorial de
V .
Resposta
Sim,
W é subespaço vetorial de
V .