Nos exercícios 3 a 12, verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=M(2,2), W=[lla & b c & d] / c=a+b e d=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = M(2,2)
e
W = la & b c & dmid c = a + b,;d = 0r
é subespaço vetorial de V. Para isso, usamos o critério padrão: (i) 0in W, (ii) fechadura sob soma e (iii) fechadura sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o elemento nulo de V, que é
0 = 0 & 0 0 & 0,
está em W. Aqui a=b=0 implica c=a+b=0 e d=0, logo o zero satisfaz as condições de W. Portanto 0in W.

Passo 3

Fechadura sob soma: sejam
X = a1 & b1 c1 & d1, Y = a2 & b2 c2 & d2
em W. Então c1 = a1+b1, d1=0, c2=a2+b2, d2=0. A soma é
X+Y = a1+a2 & b1+b2 [6pt] c1+c2 & d1+d2 = A & B [3pt] (c1+c2) & 0 ,
onde A=a1+a2, B=b1+b2 e
c1+c2 = (a1+b1)+(a2+b2) = A + B,
além de d1+d2=0. Logo X+Y também satisfaz c=A+B e d=0, isto é, X+Yin W.]

Passo 4

Fechadura sob escalar: seja lambda escalar e
X = a & b c & din W,
com c=a+b e d=0. Então
lambda X = lambda a & lambda b [3pt] lambda c & lambda d = A' & B' [3pt] lambda(a+b) & 0 ,
onde A'=lambda a, B'=lambda b. Note que
lambda c = lambda(a+b) = A' + B'
e lambda d = 0, logo lambda Xin W.]

Passo 5

Como 0in W, W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de V.

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