Verifique se os vetores e geram o . Caso não gerem, obtenha o subespaço gerado por estes vetores.
Passo 1
O enunciado dá os vetores e em e pede para verificar se eles geram todo . O conteúdo aqui é independência linear e subespaço gerado (span). Para gerar seriam necessárias três direções independentes, então primeiro vamos testar se e são linearmente independentes.
Passo 2
Para testar independência, consideramos a combinação
isto é,
Isso gera o sistema
Da primeira equação -alpha+2beta=0 vem alpha=2beta. Substituindo na segunda:
logo alpha=2cdot0=0. A terceira equação é então satisfeita trivialmente. Concluímos que alpha=beta=0, ou seja, v1 e v2 são linearmente independentes.
Passo 3
Como há apenas dois vetores independentes em R^3, a dimensão do subespaço que eles geram é 2, menor que 3. Portanto eles não geram todo R^3, mas sim um plano através da origem. Esse plano é justamente o subespaço