Verifique se os vetores v1=(-1,3,2) e v2=(2,-2,1) geram o R^3. Caso não gerem, obtenha o subespaço gerado por estes vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v1=(-1,3,2) e v2=(2,-2,1) em R^3 e pede para verificar se eles geram todo R^3. O conteúdo aqui é independência linear e subespaço gerado (span). Para gerar R^3 seriam necessárias três direções independentes, então primeiro vamos testar se v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 2

Para testar independência, consideramos a combinação
alpha,v1+beta,v2 = 0
isto é,
alpha(-1,3,2)+beta(2,-2,1) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
-,alpha + 2,beta = 0, 3,alpha - 2,beta = 0, 2,alpha + beta = 0
Da primeira equação -alpha+2beta=0 vem alpha=2beta. Substituindo na segunda:
3(2beta)-2beta=0 ;Longrightarrow; 6beta-2beta=0 ;Longrightarrow; 4beta=0 ;Longrightarrow; beta=0,
logo alpha=2cdot0=0. A terceira equação é então satisfeita trivialmente. Concluímos que alpha=beta=0, ou seja, v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 3

Como há apenas dois vetores independentes em R^3, a dimensão do subespaço que eles geram é 2, menor que 3. Portanto eles não geram todo R^3, mas sim um plano através da origem. Esse plano é justamente o subespaço
Spanv1,v2 = ,s,v1+t,v2mid s,tinR

Passo 4

Em forma paramétrica, todo vetor desse plano é
(x,y,z) = s(-1,3,2)+t(2,-2,1) = (-s+2t,;3s-2t,;2s+t)
Para achar a equação implícita, eliminamos s e t. Da primeira coordenada temos
-s+2t = x Longrightarrow s = 2t - x1
Da terceira coordenada,
2s+t = z Longrightarrow t = z - 2s
Substituindo s em t:
t = z - 2l(tfrac2t - x1r) = z -4t +2x ;Longrightarrow;5t = z +2x ;Longrightarrow;t = z+2x5
Então
s = 2l(tfracz+2x5r)-x1 = 2z+4x-5x5 = 2z - x5
Finalmente, da segunda coordenada 3s-2t=y obtemos
3l(tfrac2z-x5r) -2l(tfracz+2x5r) = y ;Longrightarrow; 6z-3x-2z-4x5=y ;Longrightarrow; 4z-7x5=y ;Longrightarrow; 7x+5y-4z=0
Logo o subespaço gerado é o plano
(x,y,z)inR^3mid 7x+5y-4z=0

Resposta

Eles não geram R^3. O subespaço gerado é
Spanv1,v2 = (x,y,z)inR^3mid 7x+5y-4z=0

Exercícios relacionados