Nos exercícios 13 e 14 resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
4x²y’’ – 3xy’ + 4y = 0,
y(-1) = 2,
y’(-1) = 3.
y(-1) = 2,
y’(-1) = 3.
Isso é uma equação de Euler–Cauchy, onde usamos a forma y = xᵐ para obter uma equação característica.
Passo 2
Para usar a técnica de Euler, façamos y = xᵐ. Então
Substituindo em 4x²y’’ – 3xy’ + 4y = 0 obtemos
As raízes desse polinômio são
Passo 3
Como as raízes são complexas, escrevemos a solução real geral no formato:
Passo 4
Aplicando y(-1) = 2, note que |−1|^{7/8} = 1 e ln|−1| = 0. Então
Passo 5
Precisamos agora de y’(x). Usando derivação do produto e a regra da cadeia, e avaliando em x = −1 (onde |x|=1, ln|x|=0, sinal(x)=−1), obtemos
Substituindo C_1 = 2:
Passo 6
Assim, a solução do PVI é dada por
Resposta
y(x) = |x|^{7/8}\bigl(2\cos(\tfrac{\sqrt{15}}{8}\ln|x|) + \tfrac{38}{\sqrt{15}}\sin(\tfrac{\sqrt{15}}{8}\ln|x|)\bigr)