Nos exercícios 13 e 14 resolva o PVI.
4 x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0, y(-1)=2, y^prime(-1)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
4x²y’’ – 3xy’ + 4y = 0,
y(-1) = 2,
y’(-1) = 3.
Isso é uma equação de Euler–Cauchy, onde usamos a forma y = xᵐ para obter uma equação característica.

Passo 2

Para usar a técnica de Euler, façamos y = xᵐ. Então
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2
Substituindo em 4x²y’’ – 3xy’ + 4y = 0 obtemos
4x^2·m(m-1)x^m-2 - 3x·m x^m-1 + 4x^m = 0,
4m(m-1) - 3m + 4 = 0,
4m^2 - 7m + 4 = 0
As raízes desse polinômio são
m = 7 pm iraiz158

Passo 3

Como as raízes são complexas, escrevemos a solução real geral no formato:
y(x) = |x|^7/8l(C1cosl(tfracraiz158ln|x|r) + C2sinl(tfracraiz158ln|x|r)r)

Passo 4

Aplicando y(-1) = 2, note que |−1|^{7/8} = 1 e ln|−1| = 0. Então
y(-1) = C1 = 2

Passo 5

Precisamos agora de y’(x). Usando derivação do produto e a regra da cadeia, e avaliando em x = −1 (onde |x|=1, ln|x|=0, sinal(x)=−1), obtemos
y'(-1) = -tfrac78C1 + tfracraiz158C2 = 3
Substituindo C_1 = 2:
-tfrac78cdot 2 + tfracraiz158C2 = 3 implies -tfrac74 + tfracraiz158C2 = 3 implies tfracraiz158C2 = tfrac194 implies C2 = tfrac194·tfrac8raiz15 = tfrac38raiz15

Passo 6

Assim, a solução do PVI é dada por
y(x) = |x|^7/8l(2cosl(tfracraiz158ln|x|r) + tfrac38raiz15sinl(tfracraiz158ln|x|r)r)

Resposta

y(x) = |x|^{7/8}\bigl(2\cos(\tfrac{\sqrt{15}}{8}\ln|x|) + \tfrac{38}{\sqrt{15}}\sin(\tfrac{\sqrt{15}}{8}\ln|x|)\bigr)

Exercícios relacionados