Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea, tipo Cauchy-Euler.
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+7 y=0, x neq 0

Passo 1

A equação é do tipo Cauchy–Euler homogênea de segunda ordem: x^2y''-3xy'+7y=0, com xneq0. Vamos usar a técnica de assumir uma solução da forma y=x^r.

Passo 2

Assumindo y=x^r, calculamos as derivadas: y'=r x^r-1 e y''=r(r-1)x^r-2.

Passo 3

Substituímos na EDO e fatoramos x^r:
x^2y''-3xy'+7y = x^2[r(r-1)x^r-2]-3x[r x^r-1]+7[x^r] = [r(r-1)-3r+7]x^r
Como x^rneq0, exigimos r(r-1)-3r+7=0.

Passo 4

A equação característica fica
r(r-1)-3r+7=0
o que simplifica para
r^2-4r+7=0

Passo 5

Resolvendo r^2-4r+7=0 pela fórmula de Bhaskara, o discriminante é De. Assim
r=4pmraiz-122=2pm iraiz3

Passo 6

Para raízes complexas r=alphapm ibeta, a solução geral real é
y(x)=x^alphal(C1cos(betaln x)+C2sin(betaln x)r)
Aqui alpha=2 e beta=raiz3, logo
y(x)=x^2l(C1cos(raiz3ln x)+C2sin(raiz3ln x)r)

Resposta

y(x)=x^2l(C1cos(raiz3ln x)+C2sin(raiz3ln x)r)

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