Nos exercícios 15 e 16 resolva usando o método da variação dos parâmetros.
x y^prime prime-4 y^prime=x^4, x>0

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a EDO de segunda ordem x,y'' - 4,y' = x^4 para x>0 usando o método da variação dos parâmetros. Vamos reescrever em forma padrão, achar a solução homogênea, as soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e depois obter a solução particular por variação dos parâmetros.

Passo 2

Reescrever em forma padrão: dividindo a equação por x (visto que x>0), obtemos
y'' - 4x,y' = x^3

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada
y'' - 4x,y' = 0
Fazendo p=y', vem
p' - 4x,p = 0 implies p'p = 4x implies p = C2,x^4
Integrando, obtemos
yh = C1 + C2,x^5

Passo 4

Identificar as soluções fundamentais da homogênea: y1=1 e y2=x^5. Calcular o Wronskiano
W = dety1 & y2 y1' & y2' = det1 & x^5 0 & 5x^4 = 5x^4

Passo 5

Aplicar as fórmulas da variação dos parâmetros para
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x),
que são
u1' = -g(x),y2W, u2' = g(x),y1W
Aqui temos p(x) = -4/x, q(x)=0 e g(x)=x^3.

Passo 6

Calcular u1' e u2':
u1' = -x^3cdot x^55x^4 = -x^45, u2' = x^3cdot15x^4 = 15x
Integrando cada um:
u1 = -x^525, u2 = 15ln x

Passo 7

Formar a solução particular
yp = u1,y1 + u2,y2 = -x^525 + x^55ln x
Logo, a solução geral é
y(x) = yh + yp = C1 + C2,x^5 - x^525 + x^55ln x

Resposta

y(x) = C1 + C2,x^5 - x^525 + x^55ln x

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