Nos Exercícios 13 a 16, é dado um conjunto S de vetores de R^4. Encontre um subconjunto de S que seja uma base do subespaço de R^4 gerado por S.
v1=(1,3,-2,4), v2=(2,-1,3,2),
v3=(5,1,4,8)

Passo 1

O enunciado nos dá
S=v1,v2,v3subsetR^4 com
v1=(1,3,-2,4),
v2=(2,-1,3,2),
v3=(5,1,4,8),
e pede um subconjunto de S que seja base de span(S). Para isso, vamos usar a definição de base: conjunto gerador e linearmente independente, verificando dependências lineares por eliminação de Gauss.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são v1,v2,v3:
A= 1 & 3 & -2 & 4 2 & -1 & 3 & 2 5 & 1 & 4 & 8
Aplicando eliminação de Gauss para zerar abaixo de A11:
R2R2-2,R1 e
R3R3-5,R1, obtemos
1 & 3 & -2 & 4 0 & -7 & 7 & -6 0 & -14 & 14 & -12

Passo 3

Agora zeramos abaixo de A22:
R3R3-2,R2, o que torna a terceira linha nula:
1 & 3 & -2 & 4 0 & -7 & 7 & -6 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma, o posto de A é 2, logo
diml(span(S)r)=2.

Passo 4

Como há pivôs nas linhas 1 e 2, os vetores v1 e v2 são linearmente independentes e já geram todo o subespaço span(S). Portanto,
v1,v2 é uma base de span(S).

Resposta

A base escolhida é v1,v2.

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