Nos Exercícios 13 a 16, é dado um conjunto S de vetores de R^4. Encontre um subconjunto de S que seja uma base do subespaço de R^4 gerado por S.
v1=(3,2,2,2), v2=(2,1,2,1),
v3=(4,3,2,3), v4=(1,2,3,4)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=v1,v2,v3,v4subsetR^4
com
v1=(3,2,2,2),
v2=(2,1,2,1),
v3=(4,3,2,3),
v4=(1,2,3,4).
Queremos extrair de S um subconjunto que seja base do subespaço gerado por S.
Conteúdo: independência linear e eliminação de Gauss para encontrar colunas pivô.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são os vetores v1,v2,v3,v4:
A = 3 & 2 & 4 & 1 2 & 1 & 3 & 2 2 & 2 & 2 & 3 2 & 1 & 3 & 4

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para levar A à forma escalonada:
  1. Usamos o pivô a11=3 para zerar abaixo na coluna 1.
  2. Em seguida normalizamos a segunda linha para obter pivô em a22 e zeramos abaixo.
    O escalonamento completo dá
3 & 2 & 4 & 1 0 & 1 & -1 & -4 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & 2

Passo 4

Na forma escalonada vemos pivôs em
  • coluna 1 (linha 1),
  • coluna 2 (linha 2),
  • coluna 4 (linha 3).
    Isso significa que as colunas originais 1, 2 e 4 de A são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço de S. Portanto uma base extraída de S é
    v1,v2,v4.

Resposta

,(3,2,2,2),;(2,1,2,1),;(1,2,3,4)

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