Nos Exercícios 13 a 16, é dado um conjunto S de vetores de R^4. Encontre um subconjunto de S que seja uma base do subespaço de R^4 gerado por S.
v1=(5,4,2,2), v2=(3,1,2,3),
v3=(7,7,2,1), v4=(1,-1,2,4),
v5=(5,4,6,7)

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
;S=v1,v2,v3,v4,v5subsetR^4
com
v1=(5,4,2,2),
v2=(3,1,2,3),
v3=(7,7,2,1),
v4=(1,-1,2,4)
e
v5=(5,4,6,7).
Pede-se um subconjunto de S que seja uma base do subespaço gerado por S.
Para isso, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e usar eliminação de Gauss para identificar as colunas-pivô.

Passo 2

Montamos a matriz
A = 5 & 3 & 7 & 1 & 5 4 & 1 & 7 & -1 & 4 2 & 2 & 2 & 2 & 6 2 & 3 & 1 & 4 & 7
e aplicamos eliminações elementares. Uma forma escalonada obtida é
5 & 3 & 7 & 1 & 5 0 & -7 & 7 & -9 & 0 0 & 0 & 0 & 20 & 20 0 & 0 & 0 & 0 & -20
Nessa forma, os pivôs aparecem nas colunas 1, 2, 4 e 5.

Passo 3

As colunas-pivô indicam que os vetores
v1,v2,v4,v5
são linearmente independentes e geram todo o subespaço produzido por S.
O vetor v3 corresponde a uma coluna não-pivô e fica dependente dos demais.

Resposta

v1,,v2,,v4,,v5
é uma base do subespaço de R^4 gerado por S.

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