Nos Exercícios 13-16, encontre e esboce as curvas de nível f(x, y)=c no mesmo conjunto de eixos de coordenadas para os valores determinados de c. Referimo-nos a essas curvas de nível como um mapa de contorno.
f(x, y)=x^2+y^2, c=0,1,4,9,16,25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar e desenhar as curvas de nível da função para os valores de . Isso tudo está dentro do estudo de funções de duas variáveis, especificamente das curvas de nível, também conhecidas como mapas de contorno. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano que conectam todos os pontos onde a função tem o mesmo valor, ou seja, . No nosso caso, a função é , e queremos ver onde ela é igual a cada valor de dado.

Passo 3

Agora, vamos substituir cada valor de na equação e ver o que isso representa. A equação é a equação de um círculo com centro na origem e raio igual a . Isso porque, em geometria, a equação de um círculo é , onde é o centro e é o raio.

Passo 4

Vamos calcular o raio para cada valor de :
  • Para : (um ponto na origem)
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com esses raios, podemos desenhar cada curva de nível como um círculo com o raio correspondente. Todos esses círculos estarão concêntricos, ou seja, terão o mesmo centro na origem.

Resposta

As curvas de nível de para são círculos com centro na origem e raios respectivamente. No gráfico, elas aparecem como círculos concêntricos desenhados no mesmo conjunto de eixos de coordenadas.

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