Nos Exercícios 13-16, encontre e esboce as curvas de nível
no mesmo conjunto de eixos de coordenadas para os valores determinados de
. Referimo-nos a essas curvas de nível como um mapa de contorno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar e desenhar as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso tudo está dentro do estudo de funções de duas variáveis, especificamente das curvas de nível, também conhecidas como mapas de contorno. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano que conectam todos os pontos onde a função
tem o mesmo valor, ou seja,
. No nosso caso, a função é
, e queremos ver onde ela é igual a cada valor de
dado.
Passo 3
Agora, vamos substituir cada valor de
na equação
e ver o que isso representa. A equação
é a equação de um círculo com centro na origem
e raio igual a
. Isso porque, em geometria, a equação de um círculo é
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 4
Vamos calcular o raio para cada valor de
:
- Para
: (um ponto na origem) - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Com esses raios, podemos desenhar cada curva de nível como um círculo com o raio correspondente. Todos esses círculos estarão concêntricos, ou seja, terão o mesmo centro na origem.
Resposta
As curvas de nível de
para
são círculos com centro na origem e raios
respectivamente. No gráfico, elas aparecem como círculos concêntricos desenhados no mesmo conjunto de eixos de coordenadas.