Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva plana
no plano
e pede duas coisas:
- Achar uma equação da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo
. - Fazer um esboço (uma descrição gráfica) dessa superfície.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva inicial tem pontos
no espaço tridimensional (colocando para estar no plano ). - O eixo de rotação é o eixo
. - Não há restrição de domínio dada, então tomar
.
Passo 2
Ideia geométrica passo a passo (sem pular etapas):
- Pegue um ponto genérico da curva: ele é
. - Ao rotacionar esse ponto em torno do eixo
, ele descreve um círculo cujo centro está sobre o eixo no mesmo e que está contido no plano perpendicular ao eixo (plano paralelo ao plano em fixo). - O raio desse círculo é a distância do ponto original ao eixo
. Essa distância é justamente o valor absoluto de , porque a coordenada do ponto medida perpendicularmente ao eixo é (mas distância é não negativa). - Para descrever esse círculo usamos um parâmetro angular
(ângulo de rotação, ). Assim, as coordenadas de um ponto da superfície gerada por rotação podem ser escritas em função de e :
Expliquei: aqui
mantém a posição ao longo do eixo
e
gira a posição no plano
;
é o módulo do raio do círculo.
Passo 3
Passo para obter a equação implícita (a forma padrão pedida como “equação da superfície”):
- Num ponto qualquer da superfície, as coordenadas
e satisfazem que a distância ao eixo (isto é, ) é igual a . - Escrevendo isso:
- Elevando ambos os lados ao quadrado (isso elimina a raiz e também remove o valor absoluto, de forma segura), obtemos a equação implícita:
Esta é a equação da superfície de revolução procurada. Aqui tudo está em termos das coordenadas espaciais
.
Passo 4
Observações importantes sobre a equação e interpretação física:
- A equação
mostra que, para cada valor fixo de , a seção transversal perpendicular ao eixo é um círculo de raio . - Como
varia entre e , os raios das seções variam entre e . Logo a superfície fica contida na faixa e transversalmente (mas estende-se para todo ao longo do eixo). - Pontos notáveis:
- Em
(com ) temos , então o raio é e a seção é um ponto sobre o eixo — a superfície “se fecha” nesses pontos (gargantas/colas). - Em
temos , então a seção é um círculo de raio — as maiores “bolhas” da superfície.
- Em
- Não há auto-interseção entre círculos de
diferentes, porque cada círculo está em um plano perpendicular diferente (cada um em fixo).
Passo 5
Parâmetros e exemplo paralelo para fixar a ideia (dica prática para prova):
- A parametrização vista facilita trabalhos posteriores (por exemplo, cálculo de área ou integração sobre a superfície):
- Exemplo análogo simples para memorizar a técnica: ao rotacionar a reta
em torno do eixo obtém-se o cone de equação
ou seja, a mesma ideia: a distância ao eixo
é
.
Passo 6
Como fazer um esboço (passo a passo prático para desenhar à mão na prova):
- Trace um eixo horizontal e marque nele alguns valores importantes:
, , , etc. - Em cada um desses valores desenhe a seção circular correspondente:
- Em
desenhe um ponto (raio ). - Em
desenhe um círculo de raio . - Entre esses pontos desenhe círculos de raio intermediário seguindo o gráfico de
(como se as circunferências tivessem raios que variam periodicamente).
- Em
- Ligue suavemente essas seções para formar uma sequência de “bolhas” ou “gargantas” periódicas ao longo do eixo
.
Descrição visual final: a superfície parece uma coluna formada por bulbos periódicos (raios variando entree ), com pontos onde a superfície afina até o eixo em e se alarga até raio em .
Resposta
Esboço: superfície periódica ao longo do eixo