Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
y=\operatorname{sen} x no plano x y, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a curva plana y=\sin x no plano x y e pede duas coisas:
  • Achar uma equação da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x.
  • Fazer um esboço (uma descrição gráfica) dessa superfície.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva inicial tem pontos (x,\sin x,0) no espaço tridimensional (colocando z=0 para estar no plano xy).
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • Não há restrição de domínio dada, então tomar x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Ideia geométrica passo a passo (sem pular etapas):
  • Pegue um ponto genérico da curva: ele é (x,\sin x,0).
  • Ao rotacionar esse ponto em torno do eixo x, ele descreve um círculo cujo centro está sobre o eixo x no mesmo x e que está contido no plano perpendicular ao eixo x (plano paralelo ao plano yz em x fixo).
  • O raio desse círculo é a distância do ponto original ao eixo x. Essa distância é justamente o valor absoluto de \sin x, porque a coordenada do ponto medida perpendicularmente ao eixo x é \sin x (mas distância é não negativa).
  • Para descrever esse círculo usamos um parâmetro angular \theta (ângulo de rotação, 0\le\theta<2\pi). Assim, as coordenadas de um ponto da superfície gerada por rotação podem ser escritas em função de x e \theta:
\mathbf{r}(x,\theta)=\big(x,\; \sin x\cos\theta,\; \sin x\sin\theta\big).
Expliquei: aqui x mantém a posição ao longo do eixo x e \theta gira a posição no plano yz; \sin x é o módulo do raio do círculo.

Passo 3

Passo para obter a equação implícita (a forma padrão pedida como “equação da superfície”):
  • Num ponto qualquer da superfície, as coordenadas y e z satisfazem que a distância ao eixo x (isto é, \sqrt{y^2+z^2}) é igual a |\sin x|.
  • Escrevendo isso:
\sqrt{y^2+z^2}=|\sin x|.
  • Elevando ambos os lados ao quadrado (isso elimina a raiz e também remove o valor absoluto, de forma segura), obtemos a equação implícita:
y^2+z^2=\sin^2 x.
Esta é a equação da superfície de revolução procurada. Aqui tudo está em termos das coordenadas espaciais (x,y,z).

Passo 4

Observações importantes sobre a equação e interpretação física:
  • A equação \;y^2+z^2=\sin^2 x\; mostra que, para cada valor fixo de x, a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio |\sin x|.
  • Como \sin^2 x varia entre 0 e 1, os raios das seções variam entre 0 e 1. Logo a superfície fica contida na faixa -1\le y\le1 e -1\le z\le1 transversalmente (mas estende-se para todo x\in\mathbb{R} ao longo do eixo).
  • Pontos notáveis:
    • Em x=n\pi (com n\in\mathbb{Z}) temos \sin x=0, então o raio é 0 e a seção é um ponto sobre o eixo x — a superfície “se fecha” nesses pontos (gargantas/colas).
    • Em x=(2n+1)\dfrac{\pi}{2} temos |\sin x|=1, então a seção é um círculo de raio 1 — as maiores “bolhas” da superfície.
  • Não há auto-interseção entre círculos de x diferentes, porque cada círculo está em um plano perpendicular diferente (cada um em x fixo).

Passo 5

Parâmetros e exemplo paralelo para fixar a ideia (dica prática para prova):
  • A parametrização vista facilita trabalhos posteriores (por exemplo, cálculo de área ou integração sobre a superfície):
\mathbf{r}(x,\theta)=\big(x,\; \sin x\cos\theta,\; \sin x\sin\theta\big), \qquad x\in\mathbb{R},\; \theta\in[0,2\pi).
  • Exemplo análogo simples para memorizar a técnica: ao rotacionar a reta y=x em torno do eixo x obtém-se o cone de equação
y^2+z^2=x^2,
ou seja, a mesma ideia: a distância ao eixo x é |x|.

Passo 6

Como fazer um esboço (passo a passo prático para desenhar à mão na prova):
  1. Trace um eixo horizontal e marque nele alguns valores importantes: x=0, x=\pm\pi, x=\pm\dfrac{\pi}{2}, etc.
  2. Em cada um desses valores desenhe a seção circular correspondente:
    • Em x=n\pi desenhe um ponto (raio 0).
    • Em x=(2n+1)\dfrac{\pi}{2} desenhe um círculo de raio 1.
    • Entre esses pontos desenhe círculos de raio intermediário seguindo o gráfico de |\sin x| (como se as circunferências tivessem raios que variam periodicamente).
  3. Ligue suavemente essas seções para formar uma sequência de “bolhas” ou “gargantas” periódicas ao longo do eixo x.
    Descrição visual final: a superfície parece uma coluna formada por bulbos periódicos (raios variando entre 0 e 1), com pontos onde a superfície afina até o eixo em x=n\pi e se alarga até raio 1 em x=(2n+1)\dfrac{\pi}{2}.

Resposta

y^2+z^2=\sin^2 x
Esboço: superfície periódica ao longo do eixo x formada por “bolhas” de raio 1 em x=(2n+1)\dfrac{\pi}{2} e “gargantas” (raio 0) em x=n\pi, n\in\mathbb{Z}.

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