Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=16\, e pede três coisas:
  • A curva geradora (a curva que, ao ser girada em torno de um eixo, gera essa superfície).
  • O eixo da superfície de revolução (em torno de qual reta essa curva é girada).
  • Um esboço da superfície.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é a de uma superfície no espaço cartesiano com variáveis x,y,z.
  • Não há outras condições extras (centro, restrições etc.) além da própria equação.

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): uma superfície de revolução costuma ser obtida ao girar uma curva situada num plano que contém o eixo de rotação. Para identificar uma curva geradora conveniente, é comum usar coordenadas cilíndricas onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} representa a distância radial ao eixo z.
Transformando a equação dada usando r:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}+z^{2}=16.
Essa forma mostra que, para cada valor de z, a seção transversal na direção radial tem raio r=\sqrt{16-z^{2}}. Isso já entrega a interpretação geométrica: a superfície é obtida girando a curva do plano (r,z) dada por r^{2}+z^{2}=16 em torno do eixo z.

Passo 3

Definir explicitamente a curva geradora no espaço cartesiano (no plano que contém o eixo z). Uma escolha natural é tomar o plano y=0 (plano xz). No plano y=0 a equação fica
x^{2}+z^{2}=16.
Para que a rotação gere toda a superfície sem sobreposição dupla, basta escolher a meia-circunferência com x\ge 0. Assim uma descrição limpa da curva geradora é:
C=\{(x,0,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+z^{2}=16,\; x\ge 0\}.
Outra forma equivalente, escrevendo pela coordenada z, é
C=\{(\sqrt{16-z^{2}},\,0,\,z)\mid z\in[-4,4]\}.
Explicação didática: essa C é a semicircunferência de raio 4 no plano y=0 com a parte voltada para x\ge0. Ao girar essa semicircunferência em torno do eixo z, cada ponto (x,0,z) descreve um círculo no plano paralelo ao xy de raio x, e o conjunto de todos esses círculos para z\in[-4,4] forma a esfera.

Passo 4

Identificar o eixo de rotação: a equação em r,z tem simetria circular em torno do eixo z. Portanto o eixo da superfície de revolução é a reta
\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\},
ou seja, o eixo z.
Motivação simples: ao usar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} a equação não depende do ângulo azimutal \theta, o que indica invariância por rotação em torno do eixo z. Essa invariância é justamente a característica de superfície de revolução cujo eixo é o eixo z.

Passo 5

Parâmetros e parametrização da superfície (útil para visualizar e para prova): usar z\in[-4,4] e \theta\in[0,2\pi). Como r=\sqrt{16-z^{2}}, uma parametrização por revolução é
\mathbf{X}(z,\theta)=\big(\sqrt{16-z^{2}}\cos\theta,\;\sqrt{16-z^{2}}\sin\theta,\;z\big), \qquad z\in[-4,4],\\ \theta\in[0,2\pi).
Essa parametrização mostra claramente a geração: para cada z fixo, \theta descreve um círculo de raio \sqrt{16-z^{2}} no plano z= constante.

Passo 6

Interpretação geométrica e esboço (como desenhar rapidamente numa prova):
  • A superfície é uma esfera de raio 4 centrada na origem (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=4^{2}).
  • Para esboçar: desenhar um círculo grande representando a seção meridiana no plano y=0 (a semicircunferência C com x\ge0 e z\in[-4,4]). Em seguida, imaginar ou desenhar linhas circulares concêntricas horizontais (paralelas ao plano xy) cujos raios variam conforme z. Isso gera a esfera. Pontos notáveis: polos em (0,0,4) e (0,0,-4); equador em z=0 com círculo de raio 4.

Resposta

Curva geradora: \{(x,0,z)\mid x^{2}+z^{2}=16,\;x\ge 0\} (a semicircunferência de raio 4 no plano y=0).
Eixo da revolução: eixo z, isto é \{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
Esboço: esfera de raio 4 centrada na origem ( x^{2}+y^{2}+z^{2}=16).

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