Nos Exercícios de 21 a 28, ache a curva geradora e o eixo da superfície de revolução dada. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede três coisas:
- A curva geradora (a curva que, ao ser girada em torno de um eixo, gera essa superfície).
- O eixo da superfície de revolução (em torno de qual reta essa curva é girada).
- Um esboço da superfície.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é a de uma superfície no espaço cartesiano com variáveis
. - Não há outras condições extras (centro, restrições etc.) além da própria equação.
Passo 2
Ideia-chave (sem resolver ainda): uma superfície de revolução costuma ser obtida ao girar uma curva situada num plano que contém o eixo de rotação. Para identificar uma curva geradora conveniente, é comum usar coordenadas cilíndricas onde
representa a distância radial ao eixo
.
Transformando a equação dada usando
:
Essa forma mostra que, para cada valor de
, a seção transversal na direção radial tem raio
. Isso já entrega a interpretação geométrica: a superfície é obtida girando a curva do plano
dada por
em torno do eixo
.
Passo 3
Definir explicitamente a curva geradora no espaço cartesiano (no plano que contém o eixo
). Uma escolha natural é tomar o plano
(plano
). No plano
a equação fica
Para que a rotação gere toda a superfície sem sobreposição dupla, basta escolher a meia-circunferência com
. Assim uma descrição limpa da curva geradora é:
Outra forma equivalente, escrevendo pela coordenada
, é
Explicação didática: essa
é a semicircunferência de raio
no plano
com a parte voltada para
. Ao girar essa semicircunferência em torno do eixo
, cada ponto
descreve um círculo no plano paralelo ao
de raio
, e o conjunto de todos esses círculos para
forma a esfera.
Passo 4
Identificar o eixo de rotação: a equação em
tem simetria circular em torno do eixo
. Portanto o eixo da superfície de revolução é a reta
ou seja, o eixo
.
Motivação simples: ao usar
a equação não depende do ângulo azimutal
, o que indica invariância por rotação em torno do eixo
. Essa invariância é justamente a característica de superfície de revolução cujo eixo é o eixo
.
Passo 5
Parâmetros e parametrização da superfície (útil para visualizar e para prova): usar
e
. Como
, uma parametrização por revolução é
Essa parametrização mostra claramente a geração: para cada
fixo,
descreve um círculo de raio
no plano
constante.
Passo 6
Interpretação geométrica e esboço (como desenhar rapidamente numa prova):
- A superfície é uma esfera de raio
centrada na origem (porque ). - Para esboçar: desenhar um círculo grande representando a seção meridiana no plano
(a semicircunferência com e ). Em seguida, imaginar ou desenhar linhas circulares concêntricas horizontais (paralelas ao plano ) cujos raios variam conforme . Isso gera a esfera. Pontos notáveis: polos em e ; equador em com círculo de raio .
Resposta
Curva geradora:
(a semicircunferência de raio
no plano
).
Eixo da revolução: eixo , isto é
.
Esboço: esfera de raio centrada na origem (
).
Eixo da revolução: eixo
Esboço: esfera de raio