Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
no plano
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva plana no plano
com equação
e pede a equação da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A curva está no plano
(plano ), ou seja seus pontos são que satisfazem .\n - O eixo de rotação é o eixo
(vertical), portanto cada ponto ao girar gera um círculo centrado no eixo com mesmo valor de e raio igual ao valor absoluto de .\n
O que se pede: escrever a equação da superfície de revolução em coordenadase esboçar/descrição da superfície.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): quando uma curva no plano que contém o eixo
(aqui o plano
) é girada em torno do eixo
, a coordenada que era a distância ao eixo (neste caso a coordenada
do ponto
) se transforma na distância radial ao eixo
no espaço tridimensional. Essa distância radial é
. Portanto, a regra prática para obter a equação da superfície é substituir, na equação da curva original,
por
(isto é, pela distância ao quadrado ao eixo
).\n
Breve justificativa: um ponto da curva original ao girar assume todas as posições
com
e mesmo
. Por isso a igualdade em termos de
passa a ser uma igualdade em termos de
.
Breve justificativa: um ponto da curva original
Passo 3
Aplicando a regra acima à equação dada, substituímos
por
. Assim obtemos a equação da superfície de revolução:
Passo 4
Colocar em forma padrão para classificar e facilitar o esboço. Dividindo ambos os lados por
:
Esta é a forma padrão de um hiperboloide de uma folha com eixo ao longo de
(do tipo
). Explicando a classificação de forma simples: há dois termos positivos (para
e
) e um termo negativo (para
), o que corresponde ao hiperboloide de uma folha — superfícies contínuas que “alargam” conforme
cresce.
Passo 5
Propriedades importantes (úteis para desenhar/entender):
- Interseção com o plano
: substituindo na equação original obtemos ou seja, a seção central é um círculo de raio no plano . - Seção para altura fixa
constante: isolando , portanto as seções horizontais são círculos de raio : o raio cresce quando aumenta. - Seção no plano
(plano original ) recupera a hipérbole dada: - Assíntotas da hipérbole geradora: a hipérbole tem assíntotas
. Ao girar, essas retas geram o cone assintótico do hiperboloide:
Passo 6
Como esboçar (passo a passo mental/prático):
- Desenhe o eixo
vertical. No plano desenhe um círculo de raio (centro na origem).\n - À medida que sobe ou desce em
, desenhe círculos concêntricos cujo raio aumenta conforme a fórmula . Assim a superfície “alarga” para cima e para baixo — típica do hiperboloide de uma folha.\n - Opcional: desenhe o cone assintótico
para guiar o formato externo; a superfície fica contida interiormente a esse cone quando é grande.\n
Dica motivadora: pense na superfície como a rotação da hipérbole original: ao girar cada ramo forma uma “cintura” (círculo mínimo em) que depois se abre para cima e para baixo. Dá pra desenhar com poucos círculos horizontais e as linhas assintóticas como guias — fica bonito e rápido.