Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície.
9 y^{2}-4 z^{2}=144 no plano y z, em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado dá a curva plana no plano yz com equação
9 y^{2} - 4 z^{2} = 144,
e pede a equação da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo z.
Informações relevantes:
  • A curva está no plano x=0 (plano yz), ou seja seus pontos são (0,y,z) que satisfazem \;9 y^{2}-4 z^{2}=144.\n
  • O eixo de rotação é o eixo z (vertical), portanto cada ponto (0,y,z) ao girar gera um círculo centrado no eixo z com mesmo valor de z e raio igual ao valor absoluto de y.\n
    O que se pede: escrever a equação da superfície de revolução em coordenadas (x,y,z) e esboçar/descrição da superfície.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática): quando uma curva no plano que contém o eixo z (aqui o plano x=0) é girada em torno do eixo z, a coordenada que era a distância ao eixo (neste caso a coordenada y do ponto (0,y,z)) se transforma na distância radial ao eixo z no espaço tridimensional. Essa distância radial é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Portanto, a regra prática para obter a equação da superfície é substituir, na equação da curva original, y^{2} por x^{2}+y^{2} (isto é, pela distância ao quadrado ao eixo z).\n
Breve justificativa: um ponto da curva original (0,y,z) ao girar assume todas as posições (x,y',z) com x^{2}+y'^{2}=y^{2} e mesmo z. Por isso a igualdade em termos de y^{2} passa a ser uma igualdade em termos de x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra acima à equação dada, substituímos y^{2} por x^{2}+y^{2}. Assim obtemos a equação da superfície de revolução:
9\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-4 z^{2}=144.

Passo 4

Colocar em forma padrão para classificar e facilitar o esboço. Dividindo ambos os lados por 144:
\frac{x^{2}+y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{36}=1.
Esta é a forma padrão de um hiperboloide de uma folha com eixo ao longo de z (do tipo +\;+\;-\;=\;1). Explicando a classificação de forma simples: há dois termos positivos (para x^{2} e y^{2}) e um termo negativo (para z^{2}), o que corresponde ao hiperboloide de uma folha — superfícies contínuas que “alargam” conforme |z| cresce.

Passo 5

Propriedades importantes (úteis para desenhar/entender):
  • Interseção com o plano z=0: substituindo z=0 na equação original obtemos 9(x^{2}+y^{2})=144 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=16,ou seja, a seção central é um círculo de raio 4 no plano z=0.
  • Seção para altura fixa z= constante: isolando x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=\frac{144+4 z^{2}}{9}=16+\frac{4}{9}z^{2},portanto as seções horizontais são círculos de raio \sqrt{16+\tfrac{4}{9}z^{2}}: o raio cresce quando |z| aumenta.
  • Seção no plano x=0 (plano original yz) recupera a hipérbole dada: 9 y^{2}-4 z^{2}=144.
  • Assíntotas da hipérbole geradora: a hipérbole tem assíntotas y=\pm \tfrac{2}{3} z. Ao girar, essas retas geram o cone assintótico do hiperboloide: x^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{2}{3}z\right)^{2}=\tfrac{4}{9}z^{2}.

Passo 6

Como esboçar (passo a passo mental/prático):
  1. Desenhe o eixo z vertical. No plano z=0 desenhe um círculo de raio 4 (centro na origem).\n
  2. À medida que sobe ou desce em z, desenhe círculos concêntricos cujo raio aumenta conforme a fórmula r(z)=\sqrt{16+\tfrac{4}{9}z^{2}}. Assim a superfície “alarga” para cima e para baixo — típica do hiperboloide de uma folha.\n
  3. Opcional: desenhe o cone assintótico r=(2/3)|z| para guiar o formato externo; a superfície fica contida interiormente a esse cone quando |z| é grande.\n
    Dica motivadora: pense na superfície como a rotação da hipérbole original: ao girar cada ramo forma uma “cintura” (círculo mínimo em z=0) que depois se abre para cima e para baixo. Dá pra desenhar com poucos círculos horizontais e as linhas assintóticas como guias — fica bonito e rápido.

Resposta

\;9(x^{2}+y^{2})-4 z^{2}=144

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