Nos Exercícios de 13 a 20, ache uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faça um esboço da superfície. y=3 z no plano y z, em torno do eixo y.
Passo 1
O enunciado dá a curva plana no plano yz descrita por
y=3z,
e pede a equação da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo y. Ou seja:
Dado: curva no plano yz com pontos (0,y,z) tais que y=3z.
Pedido: equação cartesiana da superfície de revolução gerada ao girar essa curva em torno do eixo y.
Também foi solicitado um esboço da superfície (vou descrever como desenhar e as seções típicas).
Passo 2
O que significa gerar uma superfície por rotação?
Tomamos cada ponto da curva inicial (no plano yz) e giramos esse ponto em torno do eixo y. O resultado de girar um ponto em torno do eixo y é um círculo no plano perpendicular ao eixo y (ou seja, no plano paralelo ao plano xz) com centro no eixo y e raio igual à distância do ponto original ao eixo y.
Para usar isso de forma prática, vamos:
parametrizar a curva geradora por um parâmetro t (que vai representar a coordenada z da curva original);
aplicar a rotação por um ângulo \theta ao redor do eixo y;
eliminar os parâmetros para obter uma equação em x,y,z.
Passo 3
Parametrização da curva geradora. Seja t\) a coordenada \(z\) da curva original. Então, pontos da curva no plano \(yz\) são
\[(0,\;y,\;z)=(0,\;3t,\;t),
onde t\in\mathbb{R}.
Agora, rotacionando esse ponto ao redor do eixo y por um ângulo \theta (variando \theta de 0 a 2\pi), obtemos a parametrização da superfície:
\begin{cases} x = t\cos\theta,\\[4pt] y = 3t,\\[4pt] z = t\sin\theta, \end{cases}
com parâmetros t\in\mathbb{R}\] e \(\theta\in[0,2\pi).
Explicando: aqui t define a altura y=3t e o raio do círculo gerado por rotação é |t|. O ângulo \theta dá a posição ao longo desse círculo no plano xz.]
Passo 4
Agora eliminamos os parâmetros para achar a equação cartesiana. Note que, pelos componentes acima,
Observação sobre sinais: usamos t^{2}, que já cuida do sinal de t; portanto a equação final não exige valores absolutos explícitos. A superfície contém pontos com y positivo e negativo (duas “nappes” do cone), porque t pode ser positivo ou negativo.
Passo 5
Escrevendo de forma mais compacta:
9\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)=y^{2}.
Essa é a equação de um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo y.
Interpretando geometricamente:
Para uma seção por um plano y= constante, digamos y=y_{0}, a interseção é o círculo de raio |y_{0}|/3, pois
x^{2}+z^{2}=\dfrac{y_{0}^{2}}{9}.
A interseção com o plano x=0 (o plano yz) dá as duas retas
y=\pm 3z,
que são justamente a reta original e sua simétrica; isso confirma que a superfície é um cone gerado pela rotação da reta.
Passo 6
Ângulo de abertura do cone (útil para o esboço). A partir da reta geradora y=3z no plano yz, a razão entre o raio e a altura é \dfrac{r}{y}=\dfrac{|z|}{y}=\dfrac{1}{3}. Assim o ângulo \alpha entre a geratriz do cone e o eixo y satisfaz
\tan\alpha=\dfrac{1}{3},
ou seja \alpha=\arctan\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 18{,}43^\circ.
Passo 7
Como esboçar a superfície (passo a passo):
Desenhe o eixo y vertical, com a origem no centro.
Desenhe duas linhas retas passando pela origem no plano yz com inclinação tal que y=3z e y=-3z. Essas são as geratrizes nos cortes x=0.
Ao rotacionar, cada uma dessas retas gera uma “nappe” do cone: uma acima da origem (para t>0) e outra abaixo (para t<0). Desenhe um cone circular reto para cima e outro para baixo, com semiângulo \alpha=\arctan(1/3).
Lembre que se você cortar o cone por planos y= constante obtém círculos de raio |y|/3.