Nos Exercícios 13-22, determine o limite de cada função racional (a) quando x infty e (b) quando x -infty.
g(x)=1x^3-4 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular os dois limites
limxtoinftyg(x) e limxto-inftyg(x)
para a função racional
g(x)=1x^3-4x+1
O conteúdo aqui é limites de funções racionais em infinito, usando a regra de comparação dos graus do numerador e do denominador.

Passo 2

Para uma função racional dfracP(x)Q(x) em que deg P < deg Q, ao enviar x para pminfty o termo dominante de Q(x) cresce em módulo muito mais rápido que P(x), fazendo com que
P(x)Q(x)to 0

Passo 3

No nosso caso, o numerador é 1 (grau 0) e o denominador é x^3-4x+1 (grau 3), logo
deg(num)<deg(den)
Para xtoinfty, o termo dominante do denominador é x^3, que vai para +infty, portanto
limxtoinftyg(x) =limxtoinfty1x^3-4x+1 =0

Passo 4

Para xto -infty, o termo dominante x^3 vai para -infty, de modo que o denominador também tende a -infty em módulo crescente. Assim
limxto-inftyg(x) =limxto-infty1x^3-4x+1 =0

Resposta

(a) limxtoinftyg(x)=0
(b) limxto-inftyg(x)=0

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