Nos Exercícios de 9 a 13, encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para achar a série infinita cuja sequência de somas parciais é dado por
, além de decidir se essa série converge ou diverge.
Passo 2
Para encontrar o termo geral
da série, usamos que
. Assim,
Passo 3
Agora simplificamos
. Fazendo divisão de polinômios em cada fração, temos
Passo 4
Logo
Passo 5
Para decidir convergência, note que
. Pelo teste do termo geral, se o termo não tende a zero, a série diverge.
Como o termo não tende a zero, concluímos que a série diverge; não existe soma finita.
Como o termo não tende a zero, concluímos que a série diverge; não existe soma finita.
Resposta
A série é
e ela diverge (o termo geral não tende a zero).