Nos Exercícios de 9 a 13, encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sn=n^2n+1

Passo 1

O enunciado pede para achar a série infinita cuja sequência de somas parciais é dado por sn = n^2n+1, além de decidir se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Para encontrar o termo geral an da série, usamos que an = sn - sn-1. Assim,
an = n^2n+1 - (n-1)^2n

Passo 3

Agora simplificamos an. Fazendo divisão de polinômios em cada fração, temos
n^2n+1 = n - 1 + 1n+1, (n-1)^2n = n - 2 + 1n

Passo 4

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an = l(n - 1 + 1n+1r) - l(n - 2 + 1nr) = 1 + l(1n+1 - 1nr) = 1 - 1n(n+1) Portanto a série é
sumn=1^infty an = sumn=1^infty l(1 - 1n(n+1)r)

Passo 5

Para decidir convergência, note que limntoinftyan = 1 neq 0. Pelo teste do termo geral, se o termo não tende a zero, a série diverge.
Como o termo não tende a zero, concluímos que a série diverge; não existe soma finita.

Resposta

A série é sumn=1^inftyl(1-tfrac1n(n+1)r) e ela diverge (o termo geral não tende a zero).

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