Nos Exercícios de 9 a 13, encontre a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sn=ln (2 n+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência de somas parciais sn=ln(2n+1) e pede para encontrar a série infinita sumk=1^infty ak cujas somas parciais são exatamente esses sn. É conteúdo de séries numéricas e telescópicas.

Passo 2

Para recuperar os termos an da série a partir das somas parciais, usamos a definição
an=sn-sn-1
com a convenção de que s0=0.

Passo 3

Substituindo sn=ln(2n+1) e sn-1=ln(2(n-1)+1)=ln(2n-1), obtemos
an=ln(2n+1)-ln(2n-1)=lngl(2n+12n-1gr)

Passo 4

Assim, a série infinita procurada é
sumn=1^infty an=sumn=1^infty lngl(2n+12n-1gr)

Passo 5

Para verificar se ela converge, basta notar que as somas parciais reconstruídas são sn=ln(2n+1) e
limntoinftysn=limntoinftyln(2n+1)=+infty
Logo, a série diverge.

Resposta

A série infinita é sumn=1^infty lnl(tfrac2n+12n-1r). Como limntoinfty ln(2n+1)=+infty, a série diverge.

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