Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^-x, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
y'' - 3y' + 2y = e^-x
E as condições iniciais são:
y(0) = 1
y'(0) = -1
Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, temos duas raízes reais distintas:
r1 = 2
r2 = 1

Passo 3

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^x
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Como o lado direito é $ e^{-x} $, tentamos uma solução da forma:
y'' - 3y' + 2y = e^-x
Onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.

Passo 5

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp'(x) = -A e^-x
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp''(x) = A e^-x
Simplificando:
yp
yp'
yp''
Dividindo ambos os lados por $ e^{-x} $:
A e^-x - 3(-A e^-x) + 2(A e^-x) = e^-x
A e^-x + 3A e^-x + 2A e^-x = e^-x
Então, a solução particular é:
(A + 3A + 2A) e^-x = e^-x

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = C1 e^2x + C2 e^x + 16 e^-x

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usamos $ y(0) = 1 $:
C1
C2
y(0) = 1 çã

Passo 8

Agora, calculamos a derivada de $ y(x) $:
y(x)
Aplicamos a condição $ y’(0) = -1 $:
y'(x) = 2C1 e^2x + C2 e^x - 16 e^-x
y'(0) = -1
y'(0) = 2C1 e^0 + C2 e^0 - 16 e^0 = 2C1 + C2 - 16 = -1 çã

Passo 9

Agora, resolvemos o sistema de equações formado pelas Equação 1 e Equação 2:
Equação 1:
C1 + C2 = 56
Equação 2:
2C1 + C2 = -56
Subtraindo Equação 1 da Equação 2:
(2C1 + C2) - (C1 + C2) = -56 - 56
C1 = -106
C1 = -53
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
C1
-53 + C2 = 56
C2 = 56 + 53
C2 = 56 + 106
C2 = 156

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
y(x) = -53 e^2x + 52 e^x + 16 e^-x

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