Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Passo 3
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é $ e^{-x} $, tentamos uma solução da forma:
Onde $ A $ é uma constante a ser encontrada.
Passo 5
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por $ e^{-x} $:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usamos $ y(0) = 1 $:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada de $ y(x) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = -1 $:
Passo 9
Agora, resolvemos o sistema de equações formado pelas Equação 1 e Equação 2:
Equação 1:
Equação 2:
Subtraindo Equação 1 da Equação 2:
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é: