Nos exercícios de 7 a 13, usando uma substituição apropriada calcule as integrais indefinidas.
\int e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{x}\,\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right)\,dx
As informações dadas são: a função integranda é e^{x}\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right) e o enunciado sugere usar “uma substituição apropriada”. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja e^{x}\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right).

Passo 2

Escolhemos uma substituição natural: notar que a função dentro do seno é e^{x}. Então defino a nova variável
u = e^{x}.
Expliquei a escolha: quando dentro de uma função composta aparece algo como \sin(\text{algo}) e o fator multiplicativo fora é exatamente a derivada do “algo”, a substituição simplifica muito.

Passo 3

Calculo o diferencial de u. Como u=e^{x}, tem-se
du = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = e^{x}\,dx.
Isto é muito conveniente porque e^{x}\,dx aparece na integral original; portanto e^{x}\,dx = du. Substituindo na integral obtemos
\int e^{x}\,\sin\!\left(e^{x}\right)\,dx = \int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos a integral mais simples \displaystyle \int \sin(u)\,du. Usamos a fórmula básica
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração. (Justificativa rápida: a derivada de \cos(u) é -\sin(u), então a antiderivada de \sin(u) é -\cos(u).)

Passo 5

Voltando à variável original, substituímos u = e^{x} na primitiva obtida:
-\cos(u) + C = -\cos\!\left(e^{x}\right) + C.
Para checar, aplicamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\bigl(-\cos(e^{x})\bigr) = -\bigl(-\sin(e^{x})\bigr)\cdot e^{x} = e^{x}\sin(e^{x}), que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Dica rápida para a prova (exemplo semelhante): sempre que vir \int e^{x}\cos(e^{x})\,dx faça a mesma substituição u=e^{x} e obterá \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C, logo \sin(e^{x})+C. Isso ajuda a reconhecer o padrão rápido durante a prova.

Resposta

-\cos\!\left(e^{x}\right)+C

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