Nos exercícios de 7 a 13, usando uma substituição apropriada calcule as integrais indefinidas.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
As informações dadas são: a função integranda é
e o enunciado sugere usar “uma substituição apropriada”. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja
.
Passo 2
Escolhemos uma substituição natural: notar que a função dentro do seno é
. Então defino a nova variável
Expliquei a escolha: quando dentro de uma função composta aparece algo como
e o fator multiplicativo fora é exatamente a derivada do “algo”, a substituição simplifica muito.
Passo 3
Calculo o diferencial de
. Como
, tem-se
Isto é muito conveniente porque
aparece na integral original; portanto
. Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Agora integramos a integral mais simples
. Usamos a fórmula básica
onde
é a constante de integração. (Justificativa rápida: a derivada de
é
, então a antiderivada de
é
.)
Passo 5
Voltando à variável original, substituímos
na primitiva obtida:
Para checar, aplicamos a regra da cadeia:
, que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 6
Dica rápida para a prova (exemplo semelhante): sempre que vir
faça a mesma substituição
e obterá
, logo
. Isso ajuda a reconhecer o padrão rápido durante a prova.