Nos exercícios de 1 a 6, calcule a integral fazendo a substituição dada.
\int x\left(4+x^{2}\right)^{10} d x, u=4+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\left(4+x^{2}\right)^{10}\,dx
usando a substituição dada u=4+x^{2}. As informações relevantes são: a integral é da forma produto de x por uma potência de 4+x^{2}, e o enunciado já nos indica a substituição u=4+x^{2}. Não vamos resolver ainda; só estamos organizando o que foi dado.

Passo 2

Explico a ideia da substituição de forma simples: se eu escolho u como uma função de x, posso transformar a integral em uma integral em u. Precisamos relacionar dx e du. Diferenciando
u=4+x^{2}
em relação a x, obtemos a diferencial du. Calculamos:
\frac{du}{dx}=2x
isto é,
du=2x\,dx.
Aqui du significa a variação infinitesimal de u quando x varia, e isso nos permite substituir x\,dx em termos de du. Isolando x\,dx temos:
x\,dx=\frac{du}{2}.

Passo 3

Agora vou fazer a substituição na integral. Observe que na integral original a parte \left(4+x^{2}\right)^{10} é exatamente u^{10} porque definimos u=4+x^{2}. E já expressamos x\,dx como \dfrac{du}{2}. Assim,
\int x\left(4+x^{2}\right)^{10}\,dx = \int u^{10}\cdot\frac{du}{2}.
Posso tirar a constante \dfrac{1}{2} fora da integral:
\int x\left(4+x^{2}\right)^{10}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{10}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar em u. A regra geral é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui u é a variável de integração e n é o expoente. No nosso caso n=10. Então
\int u^{10}\,du=\frac{u^{11}}{11}+C.
Multiplicando pela constante \dfrac{1}{2} que tínhamos fora:
\frac{1}{2}\int u^{10}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{11}}{11}=\frac{u^{11}}{22}+C.

Passo 5

Volto à variável original x substituindo u=4+x^{2} de volta:
\frac{u^{11}}{22}+C=\frac{\left(4+x^{2}\right)^{11}}{22}+C.
Esse é o antiderivado da função dada.

Passo 6

Para ter confiança, verifico diferenciando o resultado (checagem por derivação): aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(4+x^{2}\right)^{11}}{22}\right)=\frac{1}{22}\cdot 11\left(4+x^{2}\right)^{10}\cdot 2x.
Calculando os fatores:
\frac{1}{22}\cdot 11\cdot 2x = x,
logo a derivada é
x\left(4+x^{2}\right)^{10},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: procure sempre uma “função interna” cuja derivada esteja presente no integrando. Aqui 4+x^{2} era a função interna e sua derivada 2x aparece multiplicando. Se faltar um fator numérico, ajustar isolando esse fator (aqui veio \tfrac{1}{2}). Isso salva tempo e evita erro. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{\left(4+x^{2}\right)^{11}}{22}+C

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