Nos exercícios de 1 a 6, calcule a integral fazendo a substituição dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição dada
. As informações relevantes são: a integral é da forma produto de
por uma potência de
, e o enunciado já nos indica a substituição
. Não vamos resolver ainda; só estamos organizando o que foi dado.
Passo 2
Explico a ideia da substituição de forma simples: se eu escolho
como uma função de
, posso transformar a integral em uma integral em
. Precisamos relacionar
e
. Diferenciando
em relação a
, obtemos a diferencial
. Calculamos:
isto é,
Aqui
significa a variação infinitesimal de
quando
varia, e isso nos permite substituir
em termos de
. Isolando
temos:
Passo 3
Agora vou fazer a substituição na integral. Observe que na integral original a parte
é exatamente
porque definimos
. E já expressamos
como
. Assim,
Posso tirar a constante
fora da integral:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potência para integrar em
. A regra geral é: para
,
Aqui
é a variável de integração e
é o expoente. No nosso caso
. Então
Multiplicando pela constante
que tínhamos fora:
Passo 5
Volto à variável original
substituindo
de volta:
Esse é o antiderivado da função dada.
Passo 6
Para ter confiança, verifico diferenciando o resultado (checagem por derivação): aplicando a regra da cadeia,
Calculando os fatores:
logo a derivada é
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: procure sempre uma “função interna” cuja derivada esteja presente no integrando. Aqui
era a função interna e sua derivada
aparece multiplicando. Se faltar um fator numérico, ajustar isolando esse fator (aqui veio
). Isso salva tempo e evita erro. Força aí — você consegue!