Nos exercícios 14 e 15, calcule a integral usando integração por partes com as escolhas de u e \mathrm{d} v indicadas.
\int \theta \cos \theta d \theta ; u=\theta e d v=\cos \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \theta \cos\theta \, d\theta
usando integração por partes com as escolhas indicadas: u=\theta e \mathrm{d}v=\cos\theta\,d\theta.
Informações dadas:
\theta é a variável de integração.
Foi indicada a escolha u=\theta e \mathrm{d}v=\cos\theta\,d\theta.
O que se pede:
Calcular a primitiva \int \theta \cos\theta \, d\theta (ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja \theta\cos\theta), seguindo a técnica de integração por partes com as escolhas dadas.

Passo 2

Apresentando a fórmula de integração por partes e explicando suas peças.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u + C,
onde:
  • u é uma função de \theta que escolhemos;
  • \mathrm{d}v é outro pedaço que corresponde a uma diferencial cujo antiderivado v podemos encontrar;
  • \mathrm{d}u é a diferencial de u (ou seja, a derivada de u multiplicada por d\theta);
  • v é uma função tal que v' = o integrando de \mathrm{d}v.
Em provas, a ideia é escolher u de modo que \mathrm{d}u seja mais simples que u, e escolher \mathrm{d}v cuja antiderivada v seja fácil de obter. Aqui já nos deram a escolha, então vamos aplicá-la.

Passo 3

Calcular \mathrm{d}u e v a partir das escolhas.
Temos u=\theta. Então a diferencial (derivada) é
\mathrm{d}u = \frac{d}{d\theta}(\theta)\,d\theta = 1\cdot d\theta = d\theta.
Temos \mathrm{d}v=\cos\theta\,d\theta. Para obter v, integramos \cos\theta:
v=\int \cos\theta\,d\theta = \sin\theta.
Portanto \mathrm{d}u = d\theta e v=\sin\theta.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes.
Substituindo u=\theta, v=\sin\theta e \mathrm{d}u=d\theta na fórmula
\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u,
obtemos
\int \theta \cos\theta \, d\theta = \theta \sin\theta - \int \sin\theta \, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral restante \int \sin\theta \, d\theta e simplificar.
Sabemos que
\int \sin\theta \, d\theta = -\cos\theta + C.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\int \theta \cos\theta \, d\theta = \theta \sin\theta - \bigl(-\cos\theta\bigr) + C = \theta \sin\theta + \cos\theta + C.
Aqui C é a constante de integração, que aparece sempre que calculamos primitivas.

Passo 6

Verificação (derivando o resultado para checar).
Derivando a função obtida \theta \sin\theta + \cos\theta:
usar a regra do produto para \theta\sin\theta:
\frac{d}{d\theta}(\theta\sin\theta) = 1\cdot\sin\theta + \theta\cdot\cos\theta = \sin\theta + \theta\cos\theta.
Derivando \cos\theta obtemos -\sin\theta. Somando:
\sin\theta + \theta\cos\theta - \sin\theta = \theta\cos\theta,
que é justamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (amigável e prática)
  • Quando derem a escolha de u e \mathrm{d}v, siga-a; se tiver que escolher, prefira u que simplifique ao derivar (polinômios, log, arctan, etc.) e \mathrm{d}v de que você saiba a antiderivada (sen, cos, expo).
  • Sempre escreva \mathrm{d}u e v explicitamente antes de aplicar a fórmula, assim evita erros bobos.
  • Faça a verificação final derivando o resultado se tiver tempo — é uma checagem rápida que pega muitos erros.

Resposta

\theta\sin\theta+\cos\theta+C

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