Nos exercícios 14 e 15, calcule a integral usando integração por partes com as escolhas de u e
indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando integração por partes com as escolhas indicadas:
e
.
Informações dadas:
é a variável de integração.
Foi indicada a escolha e
.
Foi indicada a escolha
O que se pede:
Calcular a primitiva (ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja
), seguindo a técnica de integração por partes com as escolhas dadas.
Calcular a primitiva
Passo 2
Apresentando a fórmula de integração por partes e explicando suas peças.
A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função de que escolhemos; -
é outro pedaço que corresponde a uma diferencial cujo antiderivado podemos encontrar; -
é a diferencial de (ou seja, a derivada de multiplicada por ); -
é uma função tal que o integrando de .
Em provas, a ideia é escolher
de modo que
seja mais simples que
, e escolher
cuja antiderivada
seja fácil de obter. Aqui já nos deram a escolha, então vamos aplicá-la.
Passo 3
Calcular
e
a partir das escolhas.
Temos
. Então a diferencial (derivada) é
Temos
. Para obter
, integramos
:
Portanto
e
.
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes.
Substituindo
,
e
na fórmula
obtemos
Passo 5
Calcular a integral restante
e simplificar.
Sabemos que
Substituindo na expressão do passo anterior:
Aqui
é a constante de integração, que aparece sempre que calculamos primitivas.
Passo 6
Verificação (derivando o resultado para checar).
Derivando a função obtida
:
usar a regra do produto para :
usar a regra do produto para
Derivando
obtemos
. Somando:
que é justamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (amigável e prática)
- Quando derem a escolha de
e , siga-a; se tiver que escolher, prefira que simplifique ao derivar (polinômios, log, arctan, etc.) e de que você saiba a antiderivada (sen, cos, expo). - Sempre escreva
e explicitamente antes de aplicar a fórmula, assim evita erros bobos. - Faça a verificação final derivando o resultado se tiver tempo — é uma checagem rápida que pega muitos erros.