Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, que usemos métodos analíticos (derivadas) para encontrar:
– onde é crescente e decrescente,
– onde é côncava para cima e para baixo,
– os extremos locais e pontos de inflexão, se existirem.
Para isso vamos calcular a derivada primeira (monotonicidade) e a derivada segunda
(concavidade).
– onde
– onde
– os extremos locais e pontos de inflexão, se existirem.
Para isso vamos calcular a derivada primeira
Passo 2
Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos.
Como ponto crítico satisfaz
Passo 3
Determinar os intervalos de monotonicidade a partir do sinal de
:
– Para , temos
, logo
é decrescente em
.
– Para , temos
, logo
é crescente em
.
– Para
– Para
Passo 4
Calcular a derivada segunda e analisar a concavidade:
Como
para todo
,
é côncava para cima em
e não há região de concavidade para baixo. Não ocorre mudança no sinal de
, portanto não há pontos de inflexão.
Passo 5
Identificar extremos locais no ponto crítico
:
– A derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), caracterizando um mínimo local.
– Como , confirma-se mínimo.
O valor é
– A derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), caracterizando um mínimo local.
– Como
O valor é
Não há máximo local nem pontos de inflexão.
Resposta
(a) crescente em
.
(b) decrescente em .
(c) côncava para cima em .
(d) não há intervalo de concavidade para baixo.
(e) mínimo local em .
(f) não há pontos de inflexão.
(b) decrescente em
(c) côncava para cima em
(d) não há intervalo de concavidade para baixo.
(e) mínimo local em
(f) não há pontos de inflexão.