Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
f(x)=x^{2}-x-1

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=x^{2}-x-1, que usemos métodos analíticos (derivadas) para encontrar:
– onde f é crescente e decrescente,
– onde f é côncava para cima e para baixo,
– os extremos locais e pontos de inflexão, se existirem.
Para isso vamos calcular a derivada primeira f' (monotonicidade) e a derivada segunda f'' (concavidade).

Passo 2

Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-x-1\bigr)=2x-1.
Como ponto crítico satisfaz
2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.

Passo 3

Determinar os intervalos de monotonicidade a partir do sinal de f'(x):
– Para x<\tfrac12, temos 2x-1<0, logo f'(x)<0 \Rightarrow f é decrescente em (-\infty,\tfrac12).
– Para x>\tfrac12, temos 2x-1>0, logo f'(x)>0 \Rightarrow f é crescente em (\tfrac12,\infty).

Passo 4

Calcular a derivada segunda e analisar a concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}(2x-1)=2.
Como f''(x)=2>0 para todo x, f é côncava para cima em (-\infty,\infty) e não há região de concavidade para baixo. Não ocorre mudança no sinal de f'', portanto não há pontos de inflexão.

Passo 5

Identificar extremos locais no ponto crítico x=\tfrac12:
– A derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), caracterizando um mínimo local.
– Como f''(\tfrac12)=2>0, confirma-se mínimo.
O valor é
f\bigl(\tfrac12\bigr)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac12-1=\tfrac14-\tfrac12-1=-\tfrac54.
Não há máximo local nem pontos de inflexão.

Resposta

(a) crescente em \bigl(\tfrac12,\infty\bigr).
(b) decrescente em (-\infty,\tfrac12).
(c) côncava para cima em (-\infty,\infty).
(d) não há intervalo de concavidade para baixo.
(e) mínimo local em \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac12,-\tfrac54\bigr).
(f) não há pontos de inflexão.

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