Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
f(x)=x e^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede a análise de monotonicidade e concavidade de
f(x)=x\,e^{1/x},
no domínio x\neq0. Para isso vamos precisar de f'(x) (para crescente/decrescente) e de f''(x) (para concavidade), além de estudar seus sinais e pontos em que se anulam.

Passo 2

Calcular f'(x) usando regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}[x]\;e^{1/x}+x\;\frac{d}{dx}\bigl(e^{1/x}\bigr) =e^{1/x}+x\;e^{1/x}\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr) =e^{1/x}\Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Analisar f'(x)=e^{1/x}(1-1/x):
  • Como e^{1/x}>0 sempre, o sinal de f' vem de 1-1/x.
  • 1-1/x=0 em x=1.
    • Para x<0, 1/x<0 \Rightarrow 1-1/x>1>0 \Rightarrow f'>0.
    • Para 0<x<1, 1/x>1 \Rightarrow 1-1/x<0 \Rightarrow f'<0.
    • Para x>1, 0<1/x<1 \Rightarrow 1-1/x>0 \Rightarrow f'>0.
      Logo:
      (a) f é crescente em (-\infty,0)\cup(1,\infty).
      (b) f é decrescente em (0,1).

Passo 4

Calcular f''(x) diferenciando f'(x)=e^{1/x}(1-1/x):
f''(x) =e^{1/x}\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr) +e^{1/x}\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigr) =\frac{e^{1/x}}{x^2}\Bigl[-\Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr)+1\Bigr] =\frac{e^{1/x}}{x^3}.

Passo 5

Analisar o sinal de f''(x)=\frac{e^{1/x}}{x^3}:
  • Em x>0, x^3>0 \Rightarrow f''>0 \Rightarrow côncava para cima.
  • Em x<0, x^3<0 \Rightarrow f''<0 \Rightarrow côncava para baixo.
    Portanto:
    (c) côncava para cima em (0,\infty).
    (d) côncava para baixo em (-\infty,0).

Passo 6

Extremos locais e pontos de inflexão:
  • Em x=1, f'(1)=0 e há mudança de sinal de - para +, logo mínimo local em
\bigl(1,f(1)\bigr)=\bigl(1,e\bigr).
Não há máximo local em domínio.
  • Como f''(x) não se anula em x\neq0, não existem pontos de inflexão.

Resposta

(a) crescente em (-\infty,0)\cup(1,\infty).
(b) decrescente em (0,1).
(c) côncava para cima em (0,\infty).
(d) côncava para baixo em (-\infty,0).
(e) mínimo local em \bigl(1,e\bigr), sem máximo local.
(f) não há pontos de inflexão.

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