Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
f(x)=-2 x^{3}+6 x^{2}-3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -2x^{3} + 6x^{2} - 3
e pede, por meio de derivadas, que a gente encontre
  • onde ela é crescente e decrescente;
  • onde é côncava para cima e para baixo;
  • quaisquer extremos locais;
  • quaisquer pontos de inflexão.

Passo 2

Vamos começar pela derivada primeira, que nos diz crescimento e decrescimento. Calculamos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x^{3}+6x^{2}-3\bigr) = -6x^{2} + 12x = -6x(x-2).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0. Temos
-6x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.

Passo 4

Para saber o sinal de f'(x), olhamos os intervalos definidos por 0 e 2:
  • Se x<0, então x<0 e x-2<0, logo -6x(x-2)<0: f' negativa \to função decrescente.
  • Se 0<x<2, então x>0 e x-2<0, logo -6x(x-2)>0: f' positiva \to função crescente.
  • Se x>2, então x>0 e x-2>0, logo -6x(x-2)<0: f' negativa \to função decrescente.

Passo 5

Com a troca de sinal de f' em 0 e em 2, identificamos extremos:
  • Em x=0, f' vai de negativa para positiva \to mínimo local.
  • Em x=2, f' vai de positiva para negativa \to máximo local.
    Calculando os valores:
f(0) = -3, \quad f(2) = -2\cdot 8 + 6\cdot 4 - 3 = -16 + 24 - 3 = 5.

Passo 6

Agora a derivada segunda, para concavidade e inflexão:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2} + 12x\bigr) = -12x + 12 = -12(x-1).

Passo 7

Resolver f''(x)=0 x=1. Analisando o sinal de f'':
  • Se x<1, então x-1<0 \to -12(x-1)>0: concavidade para cima.
  • Se x>1, então x-1>0 \to -12(x-1)<0: concavidade para baixo.
    Em x=1 a concavidade muda \to ponto de inflexão. O valor é
f(1) = -2 + 6 - 3 = 1.

Resposta

(a) Crescente em (0,2).
(b) Decrescente em (-\infty,0)\cup(2,\infty).
(c) Côncava para cima em (-\infty,1).
(d) Côncava para baixo em (1,\infty).
(e) Mínimo local em \bigl(0,-3\bigr) e máximo local em \bigl(2,5\bigr).
(f) Ponto de inflexão em \bigl(1,1\bigr).

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