Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, por meio de derivadas, que a gente encontre
- onde ela é crescente e decrescente;
- onde é côncava para cima e para baixo;
- quaisquer extremos locais;
- quaisquer pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos começar pela derivada primeira, que nos diz crescimento e decrescimento. Calculamos
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
. Temos
Passo 4
Para saber o sinal de
, olhamos os intervalos definidos por
e
:
- Se
, então e , logo : negativa função decrescente. - Se
, então e , logo : positiva função crescente. - Se
, então e , logo : negativa função decrescente.
Passo 5
Com a troca de sinal de
em
e em
, identificamos extremos:
- Em
, vai de negativa para positiva mínimo local. - Em
, vai de positiva para negativa máximo local.
Calculando os valores:
Passo 6
Agora a derivada segunda, para concavidade e inflexão:
Passo 7
Resolver
dá
. Analisando o sinal de
:
- Se
, então : concavidade para cima. - Se
, então : concavidade para baixo.
Ema concavidade muda ponto de inflexão. O valor é
Resposta
(a) Crescente em
.
(b) Decrescente em .
(c) Côncava para cima em .
(d) Côncava para baixo em .
(e) Mínimo local em e máximo local em
.
(f) Ponto de inflexão em .
(b) Decrescente em
(c) Côncava para cima em
(d) Côncava para baixo em
(e) Mínimo local em
(f) Ponto de inflexão em