Responda as seguintes perguntas sobre as funções cujas derivadas são dadas nos exercícios 5-8.
(a) Quais são os pontos críticos de
?
(b) Em quais intervalos
é crescente ou decrescente?
(c) Em quais pontos, se houver,
assume valores máximos e mínimos locais?
(a) Quais são os pontos críticos de
(b) Em quais intervalos
(c) Em quais pontos, se houver,
Passo 1
O enunciado dá a derivada
e pede:
(a) pontos críticos de , isto é, onde
ou
não existe;
(b) em quais intervalos cresce ou decresce, usando o sinal de
;
(c) onde ocorrem máximos e mínimos locais, pelo teste da primeira derivada.
(a) pontos críticos de
(b) em quais intervalos
(c) onde ocorrem máximos e mínimos locais, pelo teste da primeira derivada.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Como produto é zero, ou
(isto é,
) ou o fator
não está definido, o que ocorre em
. Logo os pontos críticos são
Passo 3
Vamos determinar o sinal de
nos intervalos
,
e
:
Para
, por exemplo
, tem-se
e
; além disso
. Assim
logo
cresce em
.
Para
, por exemplo
, tem-se
e
; e
. Assim
logo
decresce em
.
Para
, por exemplo
, tem-se
e
; e
. Assim
logo
cresce em
.
Passo 4
Pelo teste da primeira derivada, em
a função passa de crescente (antes) para decrescente (depois), indicando um máximo local em
. Em
a função passa de decrescente para crescente, indicando um mínimo local em
.
Resposta
(a) Os pontos críticos são
e
.
(b) é crescente em
e em
, e decrescente em
.
(c) Há máximo local em e mínimo local em
.
(b)
(c) Há máximo local em