Responda as seguintes perguntas sobre as funções cujas derivadas são dadas nos exercícios 5-8.
(a) Quais são os pontos críticos de f ?
(b) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
(c) Em quais pontos, se houver, f assume valores máximos e mínimos locais?
f^{\prime}(x)=x^{-1 / 3}(x+2)

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(x)=x^{-1/3}(x+2)
e pede:
(a) pontos críticos de f, isto é, onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe;
(b) em quais intervalos f cresce ou decresce, usando o sinal de f';
(c) onde ocorrem máximos e mínimos locais, pelo teste da primeira derivada.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, resolvemos
x^{-1/3}(x+2)=0.
Como produto é zero, ou x+2=0 (isto é, x=-2) ou o fator x^{-1/3} não está definido, o que ocorre em x=0. Logo os pontos críticos são
x=-2\quad\text{e}\quad x=0.

Passo 3

Vamos determinar o sinal de f'(x) nos intervalos (-\infty,-2), (-2,0) e (0,\infty):
Para x< -2, por exemplo x=-8, tem-se \sqrt[3]{-8}=-2 e x^{-1/3}=1/(-2)=-\tfrac12; além disso x+2=-6<0. Assim
f'(x)=(-\tfrac12)\cdot(-6)>0,
logo f cresce em (-\infty,-2).
Para -2<x<0, por exemplo x=-1, tem-se \sqrt[3]{-1}=-1 e x^{-1/3}=-1; e x+2=1>0. Assim
f'(x)=(-1)\cdot 1<0,
logo f decresce em (-2,0).
Para x>0, por exemplo x=1, tem-se \sqrt[3]{1}=1 e x^{-1/3}=1; e x+2=3>0. Assim
f'(x)=1\cdot3>0,
logo f cresce em (0,\infty).

Passo 4

Pelo teste da primeira derivada, em x=-2 a função passa de crescente (antes) para decrescente (depois), indicando um máximo local em x=-2. Em x=0 a função passa de decrescente para crescente, indicando um mínimo local em x=0.

Resposta

(a) Os pontos críticos são x=-2 e x=0.
(b) f é crescente em (-\infty,-2) e em (0,\infty), e decrescente em (-2,0).
(c) Há máximo local em x=-2 e mínimo local em x=0.

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