Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
no domínio onde a raiz existe, isto é
ou
.
Para determinar (a) e (b) usamos a primeira derivada e seu sinal;
para (c) e (d) usamos a segunda derivada e seu sinal;
para (e) e (f) analisamos a mudança de sinal de (extremos) e de
(inflexão).
Para determinar (a) e (b) usamos a primeira derivada
para (c) e (d) usamos a segunda derivada
para (e) e (f) analisamos a mudança de sinal de
Passo 2
Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
Os zeros de
vêm de
, isto é
, logo
.
Passo 3
Estudo do sinal de
.
Como no interior do domínio, o sinal de
vem de
:
Como
- Para
, . - Para
, .
Logo
(a)é crescente em .
(b)é decrescente em e em .
Passo 4
Para a concavidade, derivamos novamente:
O denominador é positivo no domínio aberto, então o sinal de
vem de
.
Como em temos
, o fator
é sempre negativo.
Assim
Como em
Assim
- Para
: e . - Para
: e .
Logo
(c)é côncava para cima em .
(d)é côncava para baixo em .
Passo 5
Extremos locais ocorrem onde
muda de sinal:
- Em
, vai de negativo (para a esquerda) a positivo (para a direita) mínimo local. - Em
, vai de positivo a negativo máximo local.
Os valores são
Passo 6
Ponto de inflexão onde
muda de sinal: em
.
Calculamos , logo o ponto de inflexão é
.
Calculamos
Resposta
(a)
crescente em
.
(b) decrescente em
e
.
(c) côncava para cima em
.
(d) côncava para baixo em
.
(e) mínimo local em , máximo local em
.
(f) ponto de inflexão em .
(b)
(c)
(d)
(e) mínimo local em
(f) ponto de inflexão em