Nos exercícios 9-13, use métodos analíticos para determinar os intervalos onde a função é:
(a) crescente
(b) decrescente
(c) côncava para cima
(d) côncava para baixo
Localize e identifique, se houver,
(e) extremos locais
(f) pontos de inflexão
f(x)=x \sqrt{8-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=x\sqrt{8 - x^{2}}
no domínio onde a raiz existe, isto é 8 - x^{2}\ge0 ou -2\sqrt2\le x\le2\sqrt2.
Para determinar (a) e (b) usamos a primeira derivada f'(x) e seu sinal;
para (c) e (d) usamos a segunda derivada f''(x) e seu sinal;
para (e) e (f) analisamos a mudança de sinal de f' (extremos) e de f'' (inflexão).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada por produto e cadeia:
f'(x) =\sqrt{8 - x^{2}} + x\cdot\frac{1}{2}(8 - x^{2})^{-\tfrac12}\cdot(-2x) =\frac{8 - x^{2} - x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}} =\frac{8 - 2x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}}.
Os zeros de f' vêm de 8 - 2x^{2}=0, isto é x^{2}=4, logo x=\pm2.

Passo 3

Estudo do sinal de
\displaystyle f'(x)=\frac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}.
Como \sqrt{8-x^2}>0 no interior do domínio, o sinal de f' vem de 8-2x^2:
  • Para |x|<2, 8-2x^2>0 \implies f'(x)>0.
  • Para 2<|x|<2\sqrt2, 8-2x^2<0 \implies f'(x)<0.
    Logo
    (a) f é crescente em (-2,2).
    (b) f é decrescente em (-2\sqrt2,-2) e em (2,2\sqrt2).

Passo 4

Para a concavidade, derivamos novamente:
f''(x) =\frac{2x(x^{2}-12)}{(8 - x^{2})^{3/2}}.
O denominador é positivo no domínio aberto, então o sinal de f'' vem de x(x^{2}-12).
Como em -2\sqrt2<x<2\sqrt2 temos x^{2}<8<12, o fator (x^{2}-12) é sempre negativo.
Assim
  • Para x<0: x<0 e (x^{2}-12)<0 \implies f''(x)>0.
  • Para x>0: x>0 e (x^{2}-12)<0 \implies f''(x)<0.
    Logo
    (c) f é côncava para cima em (-2\sqrt2,0).
    (d) f é côncava para baixo em (0,2\sqrt2).

Passo 5

Extremos locais ocorrem onde f' muda de sinal:
  • Em x=-2, f' vai de negativo (para a esquerda) a positivo (para a direita) \Rightarrow mínimo local.
  • Em x=2, f' vai de positivo a negativo \Rightarrow máximo local.
    Os valores são
f(-2)=-2\sqrt{8-4}=-4,\qquad f(2)=2\sqrt{8-4}=4.

Passo 6

Ponto de inflexão onde f'' muda de sinal: em x=0.
Calculamos f(0)=0, logo o ponto de inflexão é (0,0).

Resposta

(a) f crescente em (-2,2).
(b) f decrescente em (-2\sqrt2,-2) e (2,2\sqrt2).
(c) f côncava para cima em (-2\sqrt2,0).
(d) f côncava para baixo em (0,2\sqrt2).
(e) mínimo local em ({-2},-4), máximo local em (2,4).
(f) ponto de inflexão em (0,0).

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