Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de
, classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
classificá-los como máximo ou mínimo locais e esboçar o gráfico.
O conteúdo necessário é: derivar a função, resolver para encontrar críticos e usar o teste da segunda derivada (ou o teste do sinal de
) para classificar.
O conteúdo necessário é: derivar a função, resolver
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira usando a regra da cadeia:
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
não existe. Como
para todo
, temos
Não há outros pontos críticos e
está bem definida em
.
Passo 4
Para classificar em máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada. Primeiro derivamos de novo:
Em
,
logo há um máximo local em
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
:
- É uma “campânula gaussiana” simétrica em torno de
. - Ponto de máximo em
. - Conforme
, , logo a reta é assíntota horizontal inferior.
Resposta
Ponto crítico:
.
Classificação: máximo local em , com valor
.
Gráfico: campânula centrada em , pico em
e decaimento para
quando
.
Classificação: máximo local em
Gráfico: campânula centrada em