Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x)=e^{-x^{2}},
classificá-los como máximo ou mínimo locais e esboçar o gráfico.
O conteúdo necessário é: derivar a função, resolver f'(x)=0 para encontrar críticos e usar o teste da segunda derivada (ou o teste do sinal de f') para classificar.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira usando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr) =e^{-x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(-x^{2}) =-2x\,e^{-x^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' não existe. Como e^{-x^{2}}>0 para todo x, temos
-2x\,e^{-x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Não há outros pontos críticos e f' está bem definida em \mathbb{R}.

Passo 4

Para classificar em máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada. Primeiro derivamos de novo:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-2x\,e^{-x^{2}}\bigr) =-2\,e^{-x^{2}}+(-2x)\cdot\bigl(e^{-x^{2}}\cdot(-2x)\bigr) =e^{-x^{2}}\bigl(-2+4x^{2}\bigr).
Em x=0,
f''(0)=e^{0}\bigl(-2+0\bigr)=-2<0,
logo há um máximo local em x=0.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de f:
  • É uma “campânula gaussiana” simétrica em torno de x=0.
  • Ponto de máximo em \bigl(0,\,f(0)\bigr)=(0,1).
  • Conforme x\to\pm\infty, f(x)=e^{-x^{2}}\to0, logo a reta y=0 é assíntota horizontal inferior.

Resposta

Ponto crítico: x=0.
Classificação: máximo local em x=0, com valor f(0)=1.
Gráfico: campânula centrada em x=0, pico em (0,1) e decaimento para y=0 quando |x|\to\infty.

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