Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de f(x), classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) :
f(x)=\frac{4 x+5}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x)=\frac{4x+5}{x^2-1}, a classificação (mínimo ou máximo local) e o esboço do gráfico. O conteúdo é derivada de quociente, estudo de sinais de f', assíntotas verticais e horizontais, e monotonicidade para montar o esboço.

Passo 2

Determinamos o domínio e a derivada. O domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \pm1\},
pois x^2-1\neq0. Usamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{(4)(x^2-1)-(4x+5)(2x)}{(x^2-1)^2} =\frac{4x^2-4-8x^2-10x}{(x^2-1)^2} =\frac{-\bigl(4x^2+10x+4\bigr)}{(x^2-1)^2}.

Passo 3

Achamos os pontos em que f'(x)=0. Basta zerar o numerador:
4x^2+10x+4=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{-10\pm\sqrt{100-64}}{8} =\frac{-10\pm6}{8} \;\Longrightarrow\; x=-2,\;x=-\tfrac12.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x). Note que
4x^2+10x+4=4(x+2)(x+\tfrac12),
que é positiva se x<-2 ou x>-\tfrac12, e negativa se -2<x<-\tfrac12. Como
f'(x)=-\frac{4x^2+10x+4}{(x^2-1)^2},
o denominador é sempre positivo no domínio, logo:
  • Em (-\infty,-2): 4x^2+10x+4>0 \;\Rightarrow\;f'<0 (decrescente).
  • Em (-2,-\tfrac12): 4x^2+10x+4<0 \;\Rightarrow\;f'>0 (crescente).
  • Em (-\tfrac12,1) e (1,\infty): 4x^2+10x+4>0 \;\Rightarrow\;f'<0 (decrescente), lembrando que x\neq\pm1.
Dessa forma:
  • Em x=-2, f' muda de negativo para positivo \to mínimo local.
  • Em x=-\tfrac12, f' muda de positivo para negativo \to máximo local.

Passo 5

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-2)=\frac{4(-2)+5}{(-2)^2-1} =\frac{-8+5}{4-1} =\frac{-3}{3}=-1,
f\bigl(-\tfrac12\bigr) =\frac{4(-\tfrac12)+5}{(\tfrac14)-1} =\frac{-2+5}{-\,\tfrac34} =\frac{3}{-\,\tfrac34}=-4.
Logo há mínimo local em \bigl(-2,-1\bigr) e máximo local em \bigl(-\tfrac12,-4\bigr).

Passo 6

Identificamos assíntotas:
  • Verticais em x=\pm1.
  • Horizontal em y=0 (pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0).
    Comportamento junto às verticais:
  • x\to1^-: denomínio <0, numerador \to9>0 \to f\to-\infty.
  • x\to1^+: denomínio >0 \to f\to+\infty.
  • x\to-1^-: denomínio >0, numerador \to1>0 \to f\to+\infty.
  • x\to-1^+: denomínio <0 \to f\to-\infty.

Passo 7

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Em (-\infty,-2), decrescente aproximando-se de y=0 por baixo.
  • Mínimo em (-2,-1).
  • Em (-2,-1), crescente até -\infty conforme x\to-1^-.
  • De +\infty (à direita de -1) cresce até o máximo em (-\tfrac12,-4), depois decresce até -\infty em x\to1^-.
  • De +\infty em x\to1^+, decresce e se aproxima de y=0 por cima em x\to+\infty.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(-2,-1) é mínimo local.
\bigl(-\tfrac12,-4\bigr) é máximo local.
Assíntotas:
x=\pm1 (verticais) e y=0 (horizontal).
Gráfico conforme esboço descrito acima.

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