Nos exercícios 131 a 151, encontre os pontos críticos de
, classifique em pontos de máximo local ou mínimo local e esboce o gráfico de
:
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
, a classificação (mínimo ou máximo local) e o esboço do gráfico. O conteúdo é derivada de quociente, estudo de sinais de
, assíntotas verticais e horizontais, e monotonicidade para montar o esboço.
Passo 2
Determinamos o domínio e a derivada. O domínio é
pois
. Usamos a regra do quociente:
Passo 3
Achamos os pontos em que
. Basta zerar o numerador:
Passo 4
Estudamos o sinal de
. Note que
que é positiva se
ou
, e negativa se
. Como
o denominador é sempre positivo no domínio, logo:
- Em
: (decrescente). - Em
: (crescente). - Em
e : (decrescente), lembrando que .
Dessa forma:
- Em
, muda de negativo para positivo mínimo local. - Em
, muda de positivo para negativo máximo local.
Passo 5
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Logo há mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 6
Identificamos assíntotas:
- Verticais em
. - Horizontal em
(pois ).
Comportamento junto às verticais: -
: denomínio , numerador . -
: denomínio . -
: denomínio , numerador . -
: denomínio .
Passo 7
Esboço qualitativo do gráfico:
- Em
, decrescente aproximando-se de por baixo. - Mínimo em
. - Em
, crescente até conforme . - De
(à direita de ) cresce até o máximo em , depois decresce até em . - De
em , decresce e se aproxima de por cima em .
Resposta
Pontos críticos e classificação:
é mínimo local.
é máximo local.
Assíntotas:
(verticais) e
(horizontal).
Gráfico conforme esboço descrito acima.