Nos exercícios 14 e 15, calcule a integral usando integração por partes com as escolhas de u e \mathrm{d} v indicadas.
\int x^{2} \ln x d x ; u=\ln x e d v=x^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral \displaystyle \int x^{2}\ln x\,dx usando integração por partes com as escolhas \displaystyle u=\ln x e \displaystyle dv=x^{2}\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • A integral envolve \ln x, logo estamos implicitamente considerando x>0 (domínio da função logaritmo natural).
  • Foi indicada a escolha de u e dv; não vamos trocar.
  • Vamos obter du derivando u e v integrando dv.

Passo 2

Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções diferenciáveis u=u(x) e v=v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: u é uma função que vamos derivar para obter du, e dv é uma diferencial que vamos integrar para obter v. Em seguida substituímos na fórmula.
Agora calculemos du e v a partir das escolhas dadas:
  • Como u=\ln x, a derivada de \ln x é \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}. Portanto
du=\frac{1}{x}\,dx.
  • Como dv=x^{2}\,dx, integramos x^{2} para obter v. A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Assim,
v=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du com os valores acima:
  • uv = \ln x \cdot \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{3}\ln x.
  • \displaystyle \int v\,du = \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.
Expliquei: ao passar \dfrac{1}{3} para fora da integral usei a propriedade de constantes, e simplifiquei \dfrac{x^{3}}{x}=x^{2}.

Passo 4

Calcule a integral remanescente \displaystyle \int x^{2}\,dx. A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Portanto
\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{9}.

Passo 5

Juntando tudo pela fórmula de partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C,
onde C é a constante de integração.
Opcional (verificação rápida): derivando o resultado obtemos
  • Derivada de \dfrac{x^{3}}{3}\ln x = x^{2}\ln x + \dfrac{x^{2}}{3} (produto: derivada de x^{3}/3 é x^{2}, mais x^{3}/3 vezes 1/x).
  • Derivada de -\dfrac{x^{3}}{9} = -\dfrac{x^{2}}{3}.
    Somando dá x^{2}\ln x, que é o integrando original — verificação OK.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C

Exercícios relacionados