Nos exercícios 14 e 15, calcule a integral usando integração por partes com as escolhas de u e
indicadas.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
usando integração por partes com as escolhas
e
.
Informações dadas e observações importantes:
- A integral envolve
, logo estamos implicitamente considerando (domínio da função logaritmo natural). - Foi indicada a escolha de
e ; não vamos trocar. - Vamos obter
derivando e integrando .
Passo 2
Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções diferenciáveis
e
,
Explicando:
é uma função que vamos derivar para obter
, e
é uma diferencial que vamos integrar para obter
. Em seguida substituímos na fórmula.
Agora calculemos
e
a partir das escolhas dadas:
- Como
, a derivada de é . Portanto
- Como
, integramos para obter . A primitiva de é . Assim,
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes
com os valores acima:
Expliquei: ao passar
para fora da integral usei a propriedade de constantes, e simplifiquei
.
Passo 4
Calcule a integral remanescente
. A primitiva de
é
. Portanto
Passo 5
Juntando tudo pela fórmula de partes:
onde
é a constante de integração.
Opcional (verificação rápida): derivando o resultado obtemos
- Derivada de
= (produto: derivada de é , mais vezes ). - Derivada de
= .
Somando dá, que é o integrando original — verificação OK.