Nos Exercícios de 7 a 14, ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=x y+x z+y z ; x=r s ; y=r^2-s^2 ; z=(r-s)^2 ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

Neste exercício a gente tem a função u = x y + x z + y z com as substituições x = r s, y = r^2 - s^2 e z = (r - s)^2. O conteúdo é derivadas parciais e regra da cadeia, e vamos precisar de partial u/partial x, partial u/partial y, partial u/partial z e também de partial x/partial r, partial y/partial r, partial z/partial r e depois com respeito a s.

Passo 2

Tratando u como função de x,y,z, calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x = y + z, partial upartial y = x + z, partial upartial z = x + y

Passo 3

Derivadas de x,y,z em relação a r:
partial xpartial r = s, partial ypartial r = 2r, partial zpartial r = 2(r-s)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para r e simplificando:
partial upartial r = partial upartial xpartial xpartial r + partial upartial ypartial ypartial r + partial upartial zpartial zpartial r = (y+z)s + (x+z)2r + (x+y)2(r-s)

Passo 5

Substituindo x=rs, y=r^2-s^2, z=(r-s)^2 e simplificando dá
partial upartial r = 4r^3 - 4r s^2 + 2 s^3

Passo 6

Derivadas de x,y,z em relação a s:
partial xpartial s = r, partial ypartial s = -2s, partial zpartial s = -2(r-s)

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para s e simplificando:
partial upartial s = (y+z)r + (x+z)(-2s) + (x+y)(-2(r-s)) = -4r^2s + 6rs^2 - 4s^3

Resposta

partial upartial r = 4r^3 - 4r s^2 + 2 s^3, partial upartial s = -4r^2s + 6rs^2 - 4s^3.

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