Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=z+1z e gamma(t)=3 e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralgamma f(z) dz, onde a função f(z) é z + 1z e a curva gamma é definida por gamma(t) = 3 e^i t para 0 <= t <= 2pi. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas no plano complexo e as regras de integração de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva gamma(t) = 3 e^i t. Aqui, e^i t representa um ponto no círculo unitário no plano complexo, e multiplicando por 3, temos um círculo de raio 3 centrado na origem. O parâmetro t varia de 0 a 2pi, o que significa que a curva percorre todo o círculo uma vez.

Passo 3

Para calcular a integral integralgamma f(z) dz, precisamos expressar f(z) e dz em termos do parâmetro t. Primeiro, vamos encontrar dz:
gamma(t) = 3 e^i t Rightarrow dz = gamma'(t) dt = ddt(3 e^i t) dt = 3 i e^i t dt

Passo 4

Agora, substituímos z = gamma(t) e dz = 3 i e^i t dt na integral:
integralgamma f(z) dz = integral0^2pi gamma(t) + 1gamma(t) cdot dz = integral0^2pi 3 e^i t + 13 e^i t cdot 3 i e^i t dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
3 e^i t + 13 e^i t cdot 3 i e^i t = (1 + 13 e^i t) cdot 3 i e^i t = 3 i e^i t + i

Passo 6

A integral agora fica dividida em duas partes:
integral0^2pi 3 i e^i t dt + integral0^2pi i dt
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 7

Primeira parte:
integral0^2pi 3 i e^i t dt
Sabemos que integral e^i t dt = e^i ti, então:
3 i cdot e^i ti |0^2pi = 3 (e^i (2pi) - e^0) = 3 (1 - 1) = 0

Passo 8

Segunda parte:
integral0^2pi i dt = i cdot t |0^2pi = i (2pi - 0) = 2pi i

Resposta

Portanto, a integral integralgamma f(z) dz = 2pi i.

Exercícios relacionados