Nos exercícios de 1 a 14 calcule onde e são dados. e .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde a função é e a curva é definida por para . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas no plano complexo e as regras de integração de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Aqui, representa um ponto no círculo unitário no plano complexo, e multiplicando por 3, temos um círculo de raio 3 centrado na origem. O parâmetro varia de 0 a , o que significa que a curva percorre todo o círculo uma vez.
Passo 3
Para calcular a integral , precisamos expressar e em termos do parâmetro . Primeiro, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, substituímos e na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
A integral agora fica dividida em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 7
Primeira parte:
Sabemos que , então:
Passo 8
Segunda parte:
integral0^2pi i dt = i cdot t |0^2pi = i (2pi - 0) = 2pi i
Resposta
Portanto, a integral integralgamma f(z) dz = 2pi i.