Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=1z-z0 e gamma(t)=z0+r e^i t, 0 <= t <= 2 pi, r>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa, onde $ f(z) = \frac{1}{z - z_0} $ e o caminho $ \gamma(t) = z_0 + r e^{i t} $ para $ 0 \leq t \leq 2\pi $ e $ r > 0 $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Complexo, especialmente sobre integrais de funções complexas ao longo de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa curva $ \gamma(t) $. Ela descreve um círculo no plano complexo centrado no ponto $ z_0 $ com raio $ r $. O parâmetro $ t $ varia de 0 a $ 2\pi $, o que significa que a curva completa uma volta ao redor do círculo.

Passo 3

Agora, queremos calcular a integral $ \int_{\gamma} f(z) , dz $. Na matemática complexa, existe um resultado conhecido como a fórmula de Cauchy para integrais de funções racionais simples como $ f(z) = \frac{1}{z - z_0} $.

Passo 4

De acordo com a fórmula de Cauchy, se $ f(z) $ é uma função analítica dentro e sobre uma curva fechada $ \gamma $, e $ z_0 $ está dentro dessa curva, então:
f(z)
Isso acontece porque $ \frac{1}{z - z_0} $ tem um pólo de primeira ordem em $ z = z_0 $, que está justamente no centro da nossa curva.

Resposta

A integral $ \int_{\gamma} \frac{1}{z - z_0} , dz $ é igual a $ 2\pi i $.

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