Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=log zz^n e gamma(t)=1+14 e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa $ f(z) = \frac{\log z}{z^n} $ ao longo de um caminho $ \gamma(t) = 1 + \frac{1}{4} e^{i t} $, onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais no plano complexo, usando conceitos como integração de funções complexas e teoremas de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho $ \gamma(t) $. Esse caminho descreve um círculo no plano complexo centrado em $ z = 1 $ com raio $ \frac{1}{4} $. Isso significa que estamos integrando ao redor de um círculo bem pequeno perto de $ z = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(z) = \frac{\log z}{z^n} $. Essa função pode ter pontos problemáticos (chamados de singularidades) onde ela não é analítica. As possíveis singularidades aqui são:
  1. $ z = 0 $: Devido ao termo $ \frac{1}{z^n} $, se $ n $ for positivo, temos uma singularidade em $ z = 0 $.
  2. $ z = 0 $ também é um ponto especial por causa do logaritmo $ \log z $, que tem uma ramificação ali.

Passo 4

Precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do caminho $ \gamma $. O círculo $ \gamma $ está centrado em $ z = 1 $ e tem raio $ \frac{1}{4} $. A distância de $ z = 0 $ até $ z = 1 $ é 1, que é maior que $ \frac{1}{4} $. Portanto, $ z = 0 $ está fora do nosso caminho de integração.

Passo 5

Como não temos nenhuma singularidade dentro do caminho $ \gamma $, podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que diz que a integral de uma função analítica ao longo de um caminho fechado é zero.

Resposta

integralgamma log zz^n , dz = 0

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