Seja
uma função inteira e suponha que existem
e
tais que
para
. Mostre que
é um polinômio de grau
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma função inteira $ f $, que é basicamente uma função que é diferenciável em todo o plano complexo. A gente sabe que existe um número $ M \geq 0 $, um raio $ R > 0 $ e um grau $ n \geq 1 $ tal que $ |f(z)| \leq M|z|^{n} $ quando $ |z| \geq R $. Nosso objetivo é mostrar que $ f $ é, na verdade, um polinômio de grau no máximo $ n $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre crescimento de funções inteiras e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função inteira pode ser expressa como uma série de potências, tipo:
onde $ a_k $ são os coeficientes da série. Essa é a expansão em série de Taylor de $ f $ centrada na origem.
Passo 3
Agora, sabemos que para $ |z| \geq R $, a função $ f(z) $ está limitada por $ M|z|^{n} $. Isso significa que o crescimento de $ f(z) $ é no máximo da ordem $ n $ para $ z $ grande. Em termos de série, isso sugere que os termos com potência maior que $ n $ devem ter coeficientes zero, caso contrário, o crescimento seria maior que $ |z|^{n} $.
Passo 4
Vamos analisar os coeficientes $ a_k $ da série de $ f(z) $. Para uma função inteira, os coeficientes podem ser calculados usando a fórmula de Cauchy:
onde $ r $ é um raio qualquer maior que $ R $.
Passo 5
Usando a desigualdade dada $ |f(z)| \leq M|z|^{n} $ para $ |z| = r \geq R $, podemos estimar o módulo de $ a_k $:
Passo 6
Agora, se $ k > n $, então $ n - k < 0 $ e, ao deixar $ r $ crescer, $ M r^{n - k} $ tende a zero. Isso implica que $ a_k = 0 $ para todo $ k > n $.
Passo 7
Com os coeficientes $ a_k = 0 $ para $ k > n $, a série de $ f(z) $ na verdade termina no termo $ z^n $. Ou seja:
Resposta
Portanto, $ f $ é um polinômio de grau no máximo $ n $.